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O volume da esfera e área sem o uso do calculo integral

O  processo  de  obtenção  da  demonstração  do  volume  de  uma  esfera  com  o  método  tradicional,  que  utiliza  a integral  é  complexo.  Para  a  dedução  da mesma  formula,  sem  o  calculo  integral,  o  processo  de  calculo  ganha  um  atalho,  muitíssimo  mais  fácil,  que  na  verdade  omite  o  calculo  integral,  algébrico,  mas  que  mantem  a  mesma  logica  do  calculo  integral,  para  a  obtenção  das  formulas  que  dão  conta  do  volume  e  a  área  de uma esfera.  Começa-se  com  uma  esfera:

Raio

Tudo  o  que  interessa  para  a  obtenção  da  área,  primeiramente,  para  a  obtenção  da  área  e  do  volume  é  o  seu  raio  r.

Para  a  obtenção  da  área,  utiliza-se  apenas  1/4  da  área  total,  para  isso  tem  de  se  levar  em  conta 1/2  circunferência  e  o  raio

Ao  se  varrer  a  área  de  1/4  de  área,  com  1/2  circunferência,  desta  vez,  se  multiplicando  com  o  raio,  se  obtém: π.r.r=π.r^2

• A varredura de 1/4 de área gera um "abarrotamento" dos pontos da área de 1/4 de área, então do ponto mais infinitesimal que possa ser considerado na área de 1/4 de área dessem 1/2 circunferência, sempre em linha reta no quadrante considerado, numa progressão de raios, cada vez maiores, á completar o quadrante considerado.

Esse  resultado  se  deu  porque,  1/2   corresponde  à: π.r  ,  sendo  assim: π.r  ,  como  foi  multiplicada  por  r,  se  obteve: π.r^2

A área total será: 4.π.r^2

Analogia

*Quanto à questão analógica do arco de 1/2 circunferência 'varrer' 1/4 de circunferência, deve-se notar que, os raios perpendiculares progridem em um quadrante (direção ao centro-tangente), dai então raio x raio.

1/4 de área e volume

Após  isso  tem  de  se  obter  o  volume,  para  tal  se  utilizará  primeiramente  1/4  do  volume,  será  necessário,  a  área  e  o  raio,  para  efeito,  1/4  da  área  e  o  raio.

Para  o  calculo,  deve-se  perceber  que  cada  ponto  da  área  de  1/4   de área  total  tem  seus  pontos  de  seu  plano  e  para  o  volume  cada  um  corresponde  à  um  raio,  a  soma  de  todos  os  raios,  associados  à  cada  ponto  de  1/4  da  área  total  darão  conta  de  1/4  do  volume  da  esfera: π.r^2.r=π.r^3

1/2 de volume☂    .

Para  não  se  fugir  da  logica  do  calculo  integral,  mesmo  o  omitindo,  deve-se  considerar  1/2  do  volume  da  esfera,  dividida  por  3,  tal  como  ocorre  com  o  cone: π.r^3+π.r^3=2.π.r^3

Mantendo-se a lógica integral se terá:  2.π.r^3/3

O volume anterior dá conta de 1/2 do volume da esfera.

Volume total

volume  da  esfera  será: 2.π.r^3/3+2.π.r^3/3=4.π.r^3/3, que é o volume da esfera.

Gera-se uma duvida, quanto a questao angular das geratrizes, dos cones, coisa que elimina-se logo, lembrando-se que, uma geratris qualquer, sendo interssecaçao de dois cones, quais do volume, todas as geratrizes, todas, seram comum, o que comporta todo o volume!

Nota:

Esta é uma demonstração psicológica para efeito, pois a superfície esférica contem os seus pontos, se entende que estes pontos correspondam à área de círculos. Cada um desses círculos tem centros ligados` por projeção ortogonal, ao mesmo ponto central da esfera de onde parte o raio. Deste modo as superfícies circulares tem as suas alturas e serão agora cones. Os pontos da esfera darão conta de todos os cones contidos em seu volume, esse volume é dado pela integral desses cones, que agora pode ser desprezada. O volume de um cone é A.h/3, assim o volume da esfera será: A.r/3= 4 πr^2.r/3=4.π.r^3/3, também pode-se obter o volume e a área pela progressão dos raios à 1/4 de circunferência:

[1]

Referências

Euclides,  Elementos;  Matemática  fundamental:  José  Ruy  Giovanni,  José  Roberto  Bonjorno,  José  Ruy  Giovanni  Jr.