Usuário(a):Jcband/jacobiano

Visualização

O motivo de, numa mudança de variáveis, multiplicar-se o integrando pelo determinante da matriz jacobiana pode ser visualizado, para o caso de 2 variáveis, na figura abaixo:

Nesse exemplo, um mapeamento linear de (u,v) em (x,y) resulta num aumento de área e distorção angular da figura. Se selecionarmos um subdomínio do quadrado maior em (u,v), os ângulos entre lados opostos diminuem, e a imagem mapeada tende a um paralelogramo, para uma função contínua e diferenciável.

Mapeamento linear de u,v em x,y. A imagem tende a um paralelogramo para menores domínios.

A área do paralelogramo é o produto dos lados pelo seno do ângulo entre eles.
Como na figura, o ângulo entre os lados é $90-(\alpha +\beta )$:

$S_{\Delta {x}\Delta {y}}={\frac {\Delta {x}}{cos({\beta })}}*{\frac {\Delta {y}}{cos({\alpha })}}*cos({\alpha +\beta })$,

Como $cos({\alpha +\beta })=cos({\alpha })*cos({\beta })-sen({\alpha })*sen({\beta })$:

$S_{\Delta {x}\Delta {y}}=\Delta {x}*\Delta {y}-\Delta {x}*\Delta {y}*tan({\alpha })*tan({\beta })$

Dividindo por $\Delta {u}*\Delta {v}$ para determinar a relação entre as áreas:

${\frac {S_{\Delta {x}\Delta {y}}}{S_{\Delta {u}\Delta {v}}}}={\frac {\Delta {x}}{\Delta {u}}}*{\frac {\Delta {y}}{\Delta {v}}}-{\frac {\Delta {x}*tan({\beta })}{\Delta {u}}}*{\frac {\Delta {y}*tan({\alpha })}{\Delta {v}}}$

$\Delta {x}*tan({\beta })$ é o deslocamento vertical em ($x,y$) correspondente a $\Delta {u}$.

$\Delta {y}*tan({\alpha })$ é o deslocamento vertical em ($x,y$) correspondente a $\Delta {v}$.

Portanto quando $\Delta {u}\Delta {v}$ tende a zero,

$d{x}d{y}=({\frac {\partial {x}}{\partial {u}}}*{\frac {\partial {y}}{\partial {v}}}-{\frac {\partial {y}}{\partial {u}}}*{\frac {\partial {x}}{\partial {v}}})*d{u}d{v}$,

a relação entre as áreas infinitesimais é o determinante da matriz jacobiana.

Um mapeamento não linear também leva ao mesmo resultado, porque ele tende à situação linear à medida que se reduz o domínio.