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Usuário(a):Lmeurer91/Testes

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Representação de um sistema genérico com uma entrada e uma saída.

Um sistema tem como função processar um conjunto de dados ou informação na entrada e o modificar gerando um novo conjunto de dados na saída. Exemplos clássicos de sistemas são circuitos elétricos e sistemas mecânicos massa-mola.

Considerando um sistema linear invariante no tempo e casual, a função de transferência relaciona os sinais de entrada com os de saídas através da transformada de Laplace.

A função de transferência é definida como a razão entra a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada de um dado sistema quando as condições iniciais são nulas. Isto é:


Onde, é a função de transferência, a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada.

A função de transferência pode ser interpretada como a resposta impulso, denotado por h(t), de um sistema linear invariante no tempo e inicialmente nulo:


Em um circuito elétrico, por exemplo, a função de transferência pode representar a relação entre a tensão de um sinal aplicado na entrada com a tensão de saída do circuito.

[1]

Sistema linear diferencial

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Considerando um sistema linear diferencial de equação:


onde todos os coeficientes e são constantes e . Denotando o operador diferencial e definindo os polinômios:



Então, a equação do sistema pode ser denotada por:


Supondo que as condições iniciais são nulas,


e usando a propriedade da derivada para aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação, temos:




Logo, [2]


A fração racional entre os polinômios é denominada de função de transferência do sistema diferencial linear especificado anteriormente, que relaciona uma saída y(t) com a entrada x(t)..

Integral de convolução

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O sinal de saída de um sistema pode ser escrito como o produto da função transferência pelo sinal de entrada, isto é:

Aplicando a transformada inversa de Laplace e o teorema da convolução:



[3]


Onde é a resposta impulso do sistema, e é uma funcao casual, ou seja, para .

A integral de convolução pode ser muito útil para a análises de sistemas em casos que o método da transformada é muito complicado.

Invariância no tempo

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Para um sinal deslocado de segundos, temos:

Assim, a saída se torna:


Se ,concluímos que:


[4]


Portanto, um deslocamento de segundos no sinal de entrada do sistema resulta em um mesmo deslocamento de segundos no sinal de saída. Por isso, o sistema é chamado de invariante no tempo.

Referências

  1. Dorf, Richard C. (2012). Introdução aos Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: LTC. p. 648. ISBN 978-85-216-2116-4 
  2. Lathi, B.P. (2007). Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre: Bookman. p. 340. ISBN 85-60031-13-8 
  3. Zill, Denis G. (2012). Equações Diferenciais com aplicação em modelagem. São Paulo: Cengage Learning. p. 295. ISBN 978-85-221-1059-9 
  4. Nilsson, James W. (2003). Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: LTC. p. 434. ISBN 85-216-1363-6 

Ligações externas

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