Teorema de Helmholtz

Introdução

O Teorema de Helmholtz garante que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é unico.

Enunciado do Teorema de Helmholtz

Se um campo vetorial $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ satisfaz $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )$ e $\nabla \cdot \mathbf {F} =D(\mathbf {r} )$ , e se $\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} )}{1/r^{2}}}=\lim _{r\to \infty }{\frac {D(\mathbf {r} )}{1/r^{2}}}=\mathbf {0}$ , e se $\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{1/r}}=\mathbf {0}$ , então $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ existe e é definido unicamente por

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} ,

com

U(\mathbf {r} )=\left({\frac {-1}{4\pi }}\int {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)\ \

e

\ \ \mathbf {W} (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right),

onde ${d}\tau '$ é um elemento infinitesimal de volume e $\mathbf {r}$ e $\mathbf {r'}$ são vetores genéricos no espaço tridimencional.