Usuário(a):Nailton Gama/Dor-de-cabeça-por-estímulo-frio

Integração da equação diferencial de crescimento populacional logístico

${dN \over dt}=r\ N\left(1-{N \over K}\right)\Rightarrow {\int _{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}}{1 \over {N\left(1-{N \over K}\right)}}\ dN={\int _{\rm {0}}^{t}}r\ dt\Leftrightarrow K\cdot \int _{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}{1 \over {N(K-N)}}\ dN=r\ t\Leftrightarrow K\ \int _{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}{1 \over K}\left({1 \over N}+{1 \over {K-N}}\right)dN=r\ t$

$\Leftrightarrow \int _{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}{1 \over N}\ dN\ +\int _{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}{1 \over {K-N}}\ dN=r\ t\Leftrightarrow {\ln \left|N\right|}\ {\bigg |}_{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}-{\ln \left|{K-N}\right|}\ {\bigg |}_{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}=r\ t\Leftrightarrow \ln {N \over {K-N}}\ {\Bigg |}_{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}=r\ t\Leftrightarrow {N \over {K-N}}\ {\Bigg |}_{N_{\rm {0}}}^{N_{t}}=e^{r\ t}$

$\therefore {{{N_{t}} \over {K-{N_{t}}}}={{{N_{\rm {0}}}\ e^{r\ t}} \over {K-N_{\rm {0}}}}}\therefore N_{t}\left(1+{{{N_{\rm {0}}}\ e^{r\ t}} \over {k-{N_{\rm {0}}}}}\right)={{K\ {N_{\rm {0}}}\ e^{r\ t}} \over {K-{N_{\rm {0}}}}}\therefore N_{t}={{K\ {N_{\rm {0}}}\ e^{r\ t}} \over {K+{N_{\rm {0}}}(e^{r\ t}-1)}}\qquad \blacksquare$

Equação das retas tangentes a uma cônica dado o coeficiente angular

Equação da cônica $\Gamma$:

$\Gamma :\ A\ x^{2}+B\ xy+C\ y^{2}+D\ x+E\ y+F=0$

Elipse

Equação da elipse $\mathrm {E}$:

$\mathrm {E} :\ {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$

Equação de uma reta $t^{\prime }$ tangente a $\Gamma$ pelo ponto $P=(x_{P},y_{P})\in \Gamma$:

$t^{\prime }:\ A\ (x_{P}\cdot x)+B\ {\biggl (}{x_{P}\cdot y+y_{P}\cdot x \over 2}{\biggr )}+C\ (y_{P}\cdot y)+D\ {\biggl (}{x_{P}+x \over 2}{\biggr )}+E\ {\biggl (}{y_{P}+y \over 2}{\biggr )}+F=0$

Caso particular: equação de uma reta $t$ tangente a $\mathrm {E}$ pelo ponto $P=(x_{P},y_{P})\in \mathrm {E}$:

$t:\ x\cdot {x_{P} \over a^{2}}+y\cdot {y_{P} \over b^{2}}=1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}{x\cdot x_{P}/a^{2}=1},&{\text{ se }}y_{P}=0\\{y={b^{2}/y_{P}}-x\cdot (x_{P}\ b^{2})/(y_{P}\ a^{2})},&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}$.

No caso em que $y_{P}\neq 0$, pode-se escrever os coeficientes angular $m$ e linear $n$ como segue:

$m={(x_{P}\ b^{2}) \over (y_{P}\ a^{2})}\Rightarrow x_{P}=m\ y_{P}{a^{2} \over b^{2}}\qquad (\aleph )$;

$n={b^{2} \over y_{P}}\qquad (\beth )$.

Porque $P\in t$, tem-se:

${\begin{cases}x_{P}\cdot x_{P}/a^{2}=1,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y_{P}=b^{2}/y_{P}-x_{P}\ m,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{P}=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y_{P}^{2}\cdot (1+m\ x_{P}/y_{P})=b^{2},&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\qquad (\gimel )\end{cases}}$

Substituindo $(\aleph )$ em $(\gimel )$:

${\begin{cases}x_{P}=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y_{P}^{2}\cdot (1+m^{2}\ a^{2}/b^{2})=b^{2},&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{P}=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\1/y_{P}=\pm {\sqrt {1+m^{2}\ a^{2}/b^{2}}}/b,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\qquad (\daleth )\end{cases}}$.

Substituindo $(\daleth )$ em $(\beth )$:

$n=\pm {\sqrt {b^{2}+m^{2}\ a^{2}}}$

Com isso, as equações das retas $t$ são:

$t:{\begin{cases}x=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y=\pm {\sqrt {b^{2}+m^{2}\ a^{2}}}+m\cdot x,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}\qquad \blacksquare$

Hipérbole

Considere-se, para fins algébricos, uma hipérbole $\mathrm {H}$ como sendo uma elipse de semieixo menor $bi$. Assim, tem-se, para a equação da hipérbole,

$\mathrm {H} :\ {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over (bi)^{2}}=1\Leftrightarrow {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$.

Com isso, podem-se obter, dado um coeficiente angular $m$, as equações das retas tangentes a uma hipérbole por um ponto $P=(x_{P},y_{P})\in \mathrm {H}$ por intermédio do mesmo tratamento algébrico realizado com a elipse, apenas considerando essa hipérbole como uma elipse de semieixos $a$ e $bi$. Conclui-se que as equações das retas $t$ são:

$t:{\begin{cases}x=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y=\pm {\sqrt {(bi)^{2}+m^{2}\ a^{2}}}+m\cdot x,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}$

$\Leftrightarrow t:{\begin{cases}x=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y=\pm {\sqrt {m^{2}\ a^{2}-b^{2}}}+m\cdot x,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0{\text{ e }}|m\ a|\geq b\end{cases}}\qquad \blacksquare$

A condição $|m\ a|\geq b\Leftrightarrow |m|\geq {b \over a}\$ deriva do fato de que nenhuma reta com coeficiente angular de módulo menor que o módulo do coeficiente angular das assíntotas de uma hipérbole tangencia essa cônica, não havendo, portanto, equação de reta tangente com esse coeficiente angular.

Parábola

Equação da parábola $\Pi$:

$\mathrm {P} :\ x^{2}=2p\cdot y$

Equação de uma reta $t^{\prime }$ tangente a $\Gamma$ pelo ponto $P=(x_{P},y_{P})\in \Gamma$:

$t^{\prime }:\ A\ (x_{P}\cdot x)+B\ {\biggl (}{x_{P}\cdot y+y_{P}\cdot x \over 2}{\biggr )}+C\ (y_{P}\cdot y)+D\ {\biggl (}{x_{P}+x \over 2}{\biggr )}+E\ {\biggl (}{y_{P}+y \over 2}{\biggr )}+F=0$

Caso particular: equação de equação de uma reta $t$ tangente a $\Pi$ pelo ponto $P=(x_{P},y_{P})\in \Pi$:

$t:\ x_{P}\cdot x=2p\cdot {\biggl (}{y_{P}+y \over 2}{\biggr )}$

$\Leftrightarrow y=x\cdot {x_{P} \over p}-y_{P}$.

Com isso, pode-se escrever os coeficientes angular $m$ e linear $n$ de $t$ como segue:

$m={x_{P} \over p}\Leftrightarrow x_{P}=p\ m\qquad (\aleph ^{\prime })$;

$n=-y_{P}\qquad (\beth ^{\prime })$.

Porque $P\in \mathrm {P}$, tem-se que:

$y_{P}=x_{P}\cdot {x_{P} \over p}-y_{P}\Leftrightarrow y_{P}={x_{P}^{2} \over 2p}\qquad (\gimel ^{\prime })$.

Substituindo $(\gimel ^{\prime })$ em $(\beth ^{\prime })$:

$n=-{x_{P}^{2} \over 2p}\qquad (\daleth ^{\prime })$

Substituindo $(\aleph ^{\prime })$ em $(\daleth ^{\prime })$:

$n=-{p\ m^{2} \over 2}$.

Conclui-se que a equação da reta $t$ é:

$y=m\cdot x-{p\ m^{2} \over 2}\qquad \blacksquare$