Usuário(a):SchöneNeueWelt/Sigma-aditividade
Na Matemática, aditividade e σ-aditividade de uma função definida em subconjuntos de um dado conjunto são abstrações das propriedades intuitivas (comprimento, área, volume) de um conjunto.
Funções aditivas (ou finitamente aditivas)
[editar | editar código-fonte]Seja uma função definida em uma álgebra com valores entre [−∞, +∞]. A função é dita aditiva (ou finitamente aditiva) se, sempre que A e B são conjuntos disjuntos em , tem-se que
(Uma consequência disto é que uma função aditiva não pode assumir simultaneamente os valores −∞ e +∞, pois a expressão ∞ − ∞ é indefinida.)
É possível provar por indução matemática que uma função aditiva satisfaz
para quaisquer conjuntos disjuntos em .
Funções σ-aditivas
[editar | editar código-fonte]Suponha que é uma σ-álgebra. Se para qualquer sequência de conjuntos disjuntos dois a dois em , tem-se que
- ,
diz-se que μ é σ-aditiva.
Toda função σ-aditiva é aditiva, mas a recíproca nem sempre é verdadeira (como é mostrado a seguir).
Funções τ-aditivas
[editar | editar código-fonte]Suponha que além de uma σ-álgebra , tenha-se uma topologia τ. Se para qualquer família direcionada de conjuntos mensuráveis abertos ⊆∩τ,
- ,
diz-se que μ [e τ-aditiva. Em particular, se μ é