Usuário(a):WilsonNeuroMat/Testes200

Em matemática, mais especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.

Visão geral

Este processo de Wiener (movimento browniano) em um espaço tridimensional (com um caminho amostral exibido) é um exemplo de difusão de Itō.

Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de $n$ dimensões $\mathbb {R} ^{n}$ é um processo $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ definido em um espaço de probabilidade $(\Omega ,\Sigma ,P)$ e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:

$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\mathrm {d} B_{t},$

em que $B$ é um movimento browniano de $m$ dimensões e $b:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ e $\sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times m}$ satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:

$|b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|x-y|$

para alguma constante $C$ e todo $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$. Esta condição garante a existência de uma única solução forte $X$ à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial $b$ é conhecido como coeficiente de deriva de $X$. O campo tensorial $\sigma$ é conhecido como o coeficiente de difusão de $X$. É importante notar que $b$ e $\sigma$ não dependem do tempo. Se dependessem do tempo, $X$ seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem:

• a continuidade amostral e a continuidade de Feller;
• a propriedade de Markov;
• a propriedade forte de Markov;
• a existência de um gerador infinitesimal;
• a existência de um operador característico;
• a fórmula de Dynkin.

Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.

Continuidade

Continuidade amostral

Um difusão de Itō $X$ é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações $B_{t}(\omega )$ do ruído, $X_{t}(\omega )$ é uma função contínua do parâmetro de tempo $t$. Mais precisamente, há uma "versão contínua" de $X$, um processo contínuo $Y$ tal que:

$\mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ para todo }}t.$

Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.

Continuidade de Feller

Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō $X$ satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.

Para um ponto $x\in \mathbb {R} ^{n}$, considere que P$^{x}$ denota a lei de $X$, sendo o dado inicial $X_{0}=x$, e considere que E$^{x}$denota o valor esperado em relação a P$^{x}$.

Considere que $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para $t\geq 0$ fixo, $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ por:

$u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].$

• Semicontinuidade inferior: se $f$ for semicontínua inferior, então, $u$ é semicontínua inferior.
• Continuidade de Feller: se $f$ for limitada e contínua, então, $u$ é contínua.

O comportamento da função $u$ acima quando o tempo $t$ é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.

Propriedade de Markov

Propriedade de Markov

Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de $X$, dado o que aconteceu até o tempo $t$, é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição $X_{t}$ no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.

Considere que $\Sigma _{*}$ denota a filtração natural de $(\Omega ,\Sigma )$ gerada pela movimento browniano $B$. Para $t\geq 0$,

$\Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega :0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{Borel}}\right\}.$

É fácil mostrar que $X$ é adaptado a $\Sigma _{*}$ (isto é, que cada $X_{t}$ é $\Sigma _{t}$-mensurável), de modo que a filtração natural $F_{*}=F_{*}^{X}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ gerada por $X$ tem $F_{t}\subseteq \Sigma _{t}$ para cada $t\geq 0$. Considere que $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo $t$ e $h\geq 0$, o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra $\Sigma _{t}$ e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de $X_{t}$ satisfazem a propriedade de Markov:

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].$

De fato, $X$ é também um processo de Markov no que se refere à filtração $F_{*}$, como mostra o que segue:

${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}$

Propriedade forte de Markov

A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que $t$ é substituído por um tempo aleatório adequado $T:\Omega \to [0,+\infty ]$ conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de reiniciar o processo $X$ no tempo $t=1$, pode-se reiniciar quando quer que $X$ alcance pela primeira vez algum ponto especificado $p$ de $\mathbb {R} ^{n}$.

Como antes, considere $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ uma função limitada e mensurável de Borel. Considere $T$ um tempo de parada no que se refere à filtração $\Sigma _{*}$ com $T<+\infty$ quase certamente. Então, para todo $h\geq 0$,

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.$

Gerador

Definição

Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo $X$. Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō $X$ é o operador $A$, que é definido como agindo em funções adequadas $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ por:

$Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.$

O conjunto de todas as funções $f$ para as quais este limite existe em um ponto $x$ é denotado como $D_{A}(x)$, enquanto $D_{A}$ denota o conjunto de todas as $f$ para a qual o limite existe para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$. Pode-se mostrar que qualquer função $f$ compactamente suportada $C^{2}$ (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em $D_{A}$ e que:

$Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x),$

ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,

$Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).$

Exemplo

O gerador $A$ para o movimento browniano $B$ padrão de $n$ dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica $\operatorname {d} X_{t}=\operatorname {d} B_{t}$, é dado por

$Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x),$

isto é, $A=\Delta /2$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace.

Equações de Kolmogorov e de Fokker–Planck

Ver artigos principais: Equações regressivas de Kolmogorov (difusão) e Equação de Fokker–Planck

O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de $X$ evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo $t$ e a posição inicial $x$ são variáveis independentes. Mais precisamente, se $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ tiver suporte compacto e $u:[0;+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for definido por:

$u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],$

então, $u(t,x)$ é diferenciável no que diz respeito a $t,u(t,\cdot )\in D_{A}$ para todo $t$ e $u$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}$

A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é em algum sentido a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de $X_{t}$ evoluem com o tempo $t$. Considere que $\rho (t,\cdot )$ é a densidade de $X_{t}$ no que diz respeito à medida de Lebesgue em $\mathbb {R} ^{n}$, isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$:

$\mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\mathrm {d} x.$

Considere que $A^{*}$ denota o adjunto hermitiano de $A$ (no que diz respeito ao produto interno L²). Então, dado que a posição inicial $X_{0}$ tem a densidade prescrita $\rho _{0}$, $\rho (t,x)$ é diferenciável no que diz respeito a $t$, $\rho (t,\cdot )\in D_{A^{*}}$ para todo $t$ e $\rho$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}$

Fórmula de Feynman–Kac

Ver artigo principal: Fórmula de Feynman–Kac

A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente, $f$ está em $C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ e tem suporte compacto e assume-se que $q:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função $v:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ por:

$v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].$

A fórmula de Feynman–Kac afirma que $v$ satisfaz a equação diferencial parcial:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}$

Além disso, se $w:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{1}$ em tempo, $C^{2}$ em espaço, limitada como $K\times \mathbb {R} ^{n}$ para todo $K$ compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então, $w$ deve ser $v$ como definida acima.

A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que $q(x)=0$ para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Operador característico

Definição

O operador característico de uma difusão de Itō $X$ é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.

O operador característico ${\mathcal {A}}$ de uma difusão de Itō $X$ é definido por:

${\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},$

em que os conjuntos $U$ formam uma sequência de conjuntos abertos $U_{k}$ que decresce ao ponto $x$ no sentido em que:

$U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ e }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},$

e

$\tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}$

é o primeiro tempo de saída a partir de $U$ para $X$. $D_{\mathcal {A}}$ denota o conjunto de todas as $f$ para as quais este limite existe para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ e todas as sequências $\{U_{k}\}$. Se $\mathbf {E} ^{x}[\tau _{u}]=+\infty$ para todos os conjuntos abertos $U$ contendo $x$, define-se:

${\mathcal {A}}f(x)=0.$

Relação com o gerador

O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:

$D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}$

e que

$Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ para todo }}f\in D_{A}.$

Em particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções $f$ $C^{2}$ e nesse caso:

${\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).$

Aplicação do movimento browniano em uma variedade de Riemann

The characteristic operator of a Brownian motion is ½ times the Laplace-Beltrami operator. Here it is the Laplace-Beltrami operator on a 2-sphere.

Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em $\mathbb {R} ^{n}$ foi calculado como sendo $\Delta /2$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann $(M,g)$ de $m$ dimensões: um movimento browniano em $M$ é definido como sendo uma difusão em $M$ cujo operador característico ${\mathcal {A}}$ em coordenadas locais $x_{i}$, $1\leq i\leq m$, é dado por $\Delta _{LB}/2$, em que $\Delta _{LB}$ é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:

$\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),$

em que $[g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}$ no sentido do inverso da matriz quadrada.

Operador resolvente

Em geral, o gerador $A$ de uma difusão de Itō $X$ não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade $\mathbf {I}$ for subtraído a partir de $A$, então, o operador resultante é invencível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio $X$ usando o operador resolvente.

Para $\alpha >0$, o operador resolvente $R_{\alpha }$, agindo em funções limitadas, contínuas $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$, é definido como:

$R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].$

Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão $X$, que $R_{\alpha }g$ é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também, $R_{\alpha }$ e $\alpha \mathbf {I} -A$ são operadores mutuamente inversos:

• Se $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{2}$ com suporte compacto, então, para todo $\alpha >0$,

$R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;$

• Se $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for limitada e contínua, então, $R_{\alpha }g$ repousa em $D_{A}$, para todo $\alpha >0$,

$(\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.$

Medidas invariantes

Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō $X$, isto é, uma medida em $\mathbb {R} ^{n}$ que não muda sob o "fluxo" de $X$, ou seja, se $X_{0}$ for distribuída de acordo com tal medida invariante $\mu _{\infty }$, então, $X_{t}$ é também distribuída de acordo com $\mu _{\infty }$ para qualquer $t\geq 0$. A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade $\rho _{\infty }$: se $X_{0}$ for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante $\mu _{\infty }$ com densidade $\rho _{\infty }$, então, a densidade $\rho (t,\cdot )$ de $X_{t}$ não muda com $t$, de modo que $\rho (t,\cdot )=\rho _{\infty }$, e então $\rho _{\infty }$ deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):

$A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbf {R} ^{n}.$

Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma $\Lambda f=0$ pode ser difícil de resolver diretamente, mas se $\Lambda =A^{*}$ para alguma difusão de Itō $X$ e uma medida invariante para $X$ for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.

Medidas invariantes para fluxos de gradiente

Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo $X$ é um fluxo de gradiente estocástico de forma

$\mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$

em que $\beta >0$ desempenha o papel de uma temperatura inversa e $\Psi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária $\rho _{\infty }$ (isto é, $X$ tem uma única medida invariante $\mu _{\infty }$ com densidade $\rho _{\infty }$) e é dada pela distribuição de Gibbs:

$\rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),$

em que a função de partição $Z$ é dada por:

$Z=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.$

Além disso, a densidade $\rho _{\infty }$ satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade $\rho$ em $\mathbf {R} ^{n}$a energia livre funcional $F$ dada por:

$F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],$

em que

$E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x$

desempenha o papel de uma energia funcional e

$S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x$

é a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial $\Psi$ não é bem comportado o bastante para a função de partição $Z$ e a medida de Gibbs $\mu _{\infty }$ a serem definidas, a energia livre $F[\rho (t,\cdot )]$ ainda faz sentido para cada tempo $t\geq 0$, desde que a condição inicial tenha $F[\rho (0,\cdot )]<+\infty$. A energia livre funcional $F$ é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck: $F[\rho (t,\cdot )]$ pode decrescer conforme $t$ aumenta. Assim, $F$ é uma função H para a dinâmica X.

Exemplo

Consider the Ornstein-Uhlenbeck process X on Rⁿ satisfying the stochastic differential equation

$\mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$

where m ∈ Rⁿ and β, κ > 0 are given constants. In this case, the potential Ψ is given by

$\Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},$

and so the invariant measure for X is a Gaussian measure with density ρ_∞ given by

$\rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right)$.

Heuristically, for large t, X_t is approximately normally distributed with mean m and variance (βκ)⁻¹. The expression for the variance may be interpreted as follows: large values of κ mean that the potential well Ψ has "very steep sides", so X_t is unlikely to move far from the minimum of Ψ at m; similarly, large values of β mean that the system is quite "cold" with little noise, so, again, X_t is unlikely to move far away from m.

Propriedade martingale

In general, an Itô diffusion X is not a martingale. However, for any f ∈ C²(Rⁿ; R) with compact support, the process M : [0, +∞) × Ω → R defined by

$M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,$

where A is the generator of X, is a martingale with respect to the natural filtration F_∗ of (Ω, Σ) by X. The proof is quite simple: it follows from the usual expression of the action of the generator on smooth enough functions f and Itô's lemma (the stochastic chain rule) that

$f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.$

Since Itô integrals are martingales with respect to the natural filtration Σ_∗ of (Ω, Σ) by B, for t > s,

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.$

Hence, as required,

$\mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},$

since M_s is F_s-measurable.

Fórmula de Dynkin

Ver artigo principal: Fórmula de Dynkin

Dynkin's formula, named after Eugene Dynkin, gives the expected value of any suitably smooth statistic of an Itô diffusion X (with generator A) at a stopping time. Precisely, if τ is a stopping time with E^x[τ] < +∞, and f : Rⁿ → R is C² with compact support, then

$\mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

Dynkin's formula can be used to calculate many useful statistics of stopping times. For example, canonical Brownian motion on the real line starting at 0 exits the interval (−R, +R) at a random time τ_R with expected value

$\mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.$

Dynkin's formula provides information about the behaviour of X at a fairly general stopping time. For more information on the distribution of X at a hitting time, one can study the harmonic measure of the process.

Medidas associadas

Medida harmônica

In many situations, it is sufficient to know when an Itô diffusion X will first leave a measurable set H ⊆ Rⁿ. That is, one wishes to study the first exit time

$\tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.$

Sometimes, however, one also wishes to know the distribution of the points at which X exits the set. For example, canonical Brownian motion B on the real line starting at 0 exits the interval (−1, 1) at −1 with probability ½ and at 1 with probability ½, so B_τ(−1, 1) is uniformly distributed on the set {−1, 1}.

In general, if G is compactly embedded within Rⁿ, then the harmonic measure (or hitting distribution) of X on the boundary ∂G of G is the measure μ_G^x defined by

$\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]$

for x ∈ G and F ⊆ ∂G.

Returning to the earlier example of Brownian motion, one can show that if B is a Brownian motion in Rⁿ starting at x ∈ Rⁿ and D ⊂ Rⁿ is an open ball centred on x, then the harmonic measure of B on ∂D is invariant under all rotations of D about x and coincides with the normalized surface measure on ∂D.

The harmonic measure satisfies an interesting mean value property: if f : Rⁿ → R is any bounded, Borel-measurable function and φ is given by

$\varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],$

then, for all Borel sets G ⊂⊂ H and all x ∈ G,

$\varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).$

The mean value property is very useful in the solution of partial differential equations using stochastic processes.

Medida de Green e fórmula de Green

Let A be a partial differential operator on a domain D ⊆ Rⁿ and let X be an Itô diffusion with A as its generator. Intuitively, the Green measure of a Borel set H is the expected length of time that X stays in H before it leaves the domain D. That is, the Green measure of X with respect to D at x, denoted G(x, ·), is defined for Borel sets H ⊆ Rⁿ by

$G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],$

or for bounded, continuous functions f : D → R by

$\int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

The name "Green measure" comes from the fact that if X is Brownian motion, then

$G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,$

where G(x, y) is Green's function for the operator ½Δ on the domain D.

Suppose that E^x[τ_D] < +∞ for all x ∈ D. Then the Green formula holds for all f ∈ C²(Rⁿ; R) with compact support:

$f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

In particular, if the support of f is compactly embedded in D,

$f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

Referências

• Dynkin, Eugene B.; trans. J. Fabius; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965). Markov processes. Vols. I, II. Col: Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. New York: Academic Press Inc.  MR0193671
• Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix (1998). «The variational formulation of the Fokker–Planck equation». SIAM J. Math. Anal. 29 (1): 1–17 (electronic). doi:10.1137/S0036141096303359  MR1617171
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1  MR2001996 (See Sections 7, 8 and 9)