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Bacen - 2024

FUNDAMENTOS DE MACROECONOMIA E MICROECONOMIA (10):

I MACROECONOMIA:

1. Contas nacionais
2. Agregados monetários
3. Multiplicador monetário, criação e destruição de moeda
4. Contas do sistema monetário
5. Balanço de pagamentos

II MICROECONOMIA:

• 1 Estrutura de mercado
• 1.1 Formas de organização da atividade econômica, o papel dos preços, custo de oportunidade e fronteiras das possibilidades de produção
• 2 Oferta e demanda
• 2.1 Curvas de indiferença
• 2.2 Restrição orçamentária
• 2.3 Equilíbrio do consumidor
• 2.4 Efeitos preço, renda e substituição
• 2.5 Curva de demanda
• 2.6 Elasticidade da demanda

Propriedades matemáticas

Exponenciação

$X^{-n}={1 \over X^{n}}$

$B^{\frac {c}{a}}={\sqrt[{a}]{B^{c}}}=(B^{c})^{\frac {1}{a}}$

$X^{a}*X^{b}=X^{(a+b)}$

${\frac {X^{a}}{X^{b}}}=X^{(a-b)}$

$X^{2}*X=X(X*1)$

$2^{10}=1.024$

Logarítmo

Propriedades

$Log_{2}8=3{\text{→ porque }}2^{3}=8$

$Log_{10}10=1{\text{→ porque }}10^{1}=10$

$Log(20)=Log({100 \over 5})=Log(100)-Log(5)$

$Log(e)=1{\text{→ Log(Euler) = 1}}$

$Log_{2}8=3{\text{→ porque }}2^{3}=8$

$Log(A)=Log(B){\text{ → }}A=B$

$Log(A\cdot B)=Log(A)+Log(B)$

$Log({A \over B})=Log(A)-Log(B)$

$LogA^{B}=B\cdot LogA{\text{ → demonstração }}Log10^{3}=3\cdot Log10=3\cdot 1=3$

$Log_{a}^{C}=b\Rightarrow a^{b}=C$

Questão exemplo: Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função $y=i_{0}\cdot 0,6^{x/88}$, onde $i_{0}$ representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a $i_{0} \over 3$ (considerando $Log(3)=0,48{\text{ e }}Log(2)=0,30$).

${i_{0} \over 3}=i_{0}\cdot 0,6^{x/88}\Rightarrow {{i_{0} \over 3} \over {i_{0} \over 1}}=0,6^{x \over 88}\Rightarrow {1 \over 3}=0,6^{x \over 88}$

$Log({1 \over 3})=Log(0,6^{x \over 88})\Rightarrow Log(1)-Log(3)={x \over 88}\cdot Log(0,6)\Rightarrow 0-0,48={x \over 88}\cdot Log({6 \over 10})$

$-0,48={[Log(6)-Log(10)]x \over 88}\Rightarrow -0,48\cdot 88=[Log(3\cdot 2)-1]x\Rightarrow -42,24=(0,48+0,30-1)x$

$-42,24=-0,22x\Rightarrow x={42,24 \over 0,22}=\color {green}{192}$

Matemática

Báskara ou Equação Quadrática

$ax^{2}+bx+c=0$

$\Delta =b^{2}-4ac$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

Soma e Produto

Somente é possível quando $a={\color {blue}{1}}$.

${\text{S}}={\frac {-b}{a}}$

${\text{P}}={\frac {c}{a}}$

${\begin{aligned}{\text{Soma:}}m+n&=\color {red}{-b}\color {black}{\text{ -- sinal negativo se +a, senão, +b}}\\{\text{Produto:}}m*n&=c{\text{ -- sinal negativo se +a, senão, -c}}\end{aligned}}$

Exemplo:

${\begin{aligned}{\text{Equação:}}a^{2}-7x+12&=0\\{\text{Soma:}}4+3&=7\\{\text{Produto:}}4*3&=12\end{aligned}}$

Conjuntos (Diagrama de Veen Euler)

A intersecção dos conjuntos A = [-2, 5] e B = [3, 6 ] é o conjunto C, tal que: C tem infinitos valores.

Atenção: quando os valores são dados em colchetes[], não se trata de elementos, mas sim de intervalo, portanto, a questão implicitamente representa A (intervalo de infinitos valores entre -2 e 5) e B (infinitos valores entre 3, 6).

• Q455394

Adição

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

Exemplo (Q2305416): Determinada cidade tem 1.000 residências que são atendidas por diferentes fontes energéticas. Desse total, 650 residências são atendidas por energia elétrica de fonte hidroelétrica, 450 são atendidas por energia de fonte solar, 250 são atendidas por energia de fonte eólica, 350 são atendidas por energia de fontes solar e hidroelétrica, 150 são atendidas por energia de fontes hidroelétrica e eólica e 50 são atendidas por energia de fontes solar e eólica. As informações da situação hipotética precedente são suficientes para se inferir que:

$1000=650+450+250-350+x-150+x-50+x+x$

Subconjuntos

O número de subconjuntos de um conjunto com $n$ elementos é $2^{n}$.

Exemplo 1

Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com $p+q=13$. Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?

O conjunto $P$ possui $2^{p}$ subconjuntos.

O conjunto $Q$ possui $2^{q}$ subconjuntos.

$1)p+q=13$

$2){{2^{p} \over 2^{q}}=32}::2^{p-q}=2^{5}::p-q=5::p=q+5$

${\text{Substituindo em 1) }}q+5+q=13::2q=8::q=4::p=9$

${\text{Resposta: }}p\times q=9\times 4=\color {green}{36}$

Exemplo 2

Um conjunto possui 36 subconjuntos de dois elementos. Quantos subconjuntos de três elementos possui esse conjunto? $\color {green}{84}$

Fórmulas: $C[C(n,2),3]=(36\times 2)+(36\div 3)$

$(36\times 2)+(36\div 3)=72+12={\color {green}{84}}$

ou pelo método completo:

${\begin{aligned}C(n,2)=36\\\\{n! \over {2!(n-2)!}}=36\\\\{n.(n-1).{\color {red}{(n-2)!}} \over {2{\color {red}{(n-2)!}}}}=36\\\\n\times (n-1)=36\times 2\\\\n^{2}-n=72\\\\n^{2}-n=72\\\\n^{2}-n-72=0\end{aligned}}$

Resolvendo por Báskara: n = {1 ± √ [ (-1)² - 4(1)(-72) ] } / 2(1) = n = {1 ± 17 } / 2 = [1 + 17 / 2; 9]

Só interessa 9 que é inteiro, então, C(9,3) = $\color {green}{84}$

Contagens & Progressões

Fórmula do termo geral da PA

$a_{n}=a_{1}+r(n-1)$

Soma de termos

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

Fórmula do termo geral da PG

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

Soma de termos

$S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$

Somatório de n

$S_{n}={\frac {n}{2}}(n+1)$

Matrizes & Determinantes

• Uma matriz é dita quadrada quanto seu número de colunas é igual ao seu número de linhas, ou seja, $A_{ij}|j=i$.

${\begin{vmatrix}a_{(i=1,j=1)}&a_{(i=1,j=2)}&a_{(i=1,j=3)}\\a_{(i=2,j=1)}&a_{(i=2,j=2)}&a_{(i=2,j=3)}\\a_{(i=3,j=1)}&a_{(i=3,j=2)}&a_{(i=3,j=3)}\\\end{vmatrix}}\Rightarrow {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}$

• Multiplicação

[M1 https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/Image37.gif]

[M2 https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/Image40.gif]

• Determinando que a diagonal principal de uma matriz

$A_{(3\times 3)}{\text{ seja um carácter q, senão }}{ij}$.

$\forall {\text{ (significa para todo)}}\Rightarrow a_{ii}=q,\forall i=1,2,3;{\text{ senão }}0.$

${\begin{vmatrix}q&{12}&{13}\\{21}&q&{23}\\{31}&{32}&q\\\end{vmatrix}}$

Determinantes (regra de Sarrus)

• Propriedades:

$det(a.M)=det(M).a^{n}$

Veja exemplo: Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Técnico de Administração e Controle Júnior

Sistemas lineares

• Propriedades:

Reta quando determinante = 0 (zero)

$$\left\{{\begin{matrix}x-2y+z&=0\\x+y+3z&=0\\2x-y-2z&=0\end{matrix}}\right.$$

${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1&-2&1\\1&1&-3\\2&-1&-2\end{vmatrix}}{\begin{matrix}1&-2\\1&1\\2&-1\end{matrix}}=[-2+12-1]\color {red}-[1+2+3+4]\color {black}\Rightarrow \color {green}{Determinante=0}\end{aligned}}$

• Q440575

• Propriedades

Quando determinante 0 (zero), trata-se de uma reta; senão, possível e determinável.

Funções de 1º e 2º grau

Função de 1º grau

• Definida pela equação da reta $g(x)=mx+n$, onde $m$ é o Coeficiente Angular (CA) e o $n$ é o Coeficiente Linear.

• A partir de dois pontos A e B, onde cada ponto é representado por (x, y), tem-se $m={\Delta Y(y_{1}-y_{2}) \over \Delta X(x_{1}-x_{2})}={A(x,y) \over B(x,y)}$

• $n$ é o ponto onde a reta toca o eixo $y$ e $x=0$

Função de 2º grau

• Definida pela equação da parábola $f(x)=ax^{2}+bx+c$, denotada por $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ onde $x_{1}{\text{ e }}x_{2}$ são os pontos da parábola que cruzam o eixo $x$, sendo $y$ o ponto onde a parábola cruza o eixo $y$, e $a$ é o Coeficiente Angular.

• O vértice da parábola é dado por $x={-b \over 2a}$

• Ver Q840357

Matemática Financeira

Fator de rendimento

$f=(1+in){\text{→ progressão aritmética de juros}}$

${\color {red}{}f_{-}}=(1{\color {red}{-in}}){\text{→ desconto regressivo simples de juros, isto é, o inverso de (f).}}$

$F=(1+i)^{n}{\text{→ progressão exponencial de juros}}$

${\color {red}{F^{-}}}=(1+i)^{\color {red}{-n}}{\text{→ regressivo de juros}}$

${\color {red}{}F_{-}}=(1{\color {red}{-i}})^{n}{\text{→ desconto regressivo compostos de juros, isto é, o inverso de (F).}}$

Juros simples

$M=C\cdot f$

Juros compostos

$M=C\cdot F$

Regra 2 períodos

Sempre $1,0X^{2}=1,0[2\cdot n]0[n^{2}]$

${\begin{aligned}1,01^{2}=1,0201\\1,02^{2}=1,0404\\1,03^{2}=1,0609\\1,04^{2}=1,0816\\1,05^{2}=1,1025\\1,06^{2}=1,1236\\1,07^{2}=1,1449\\1,08^{2}=1,1664\\1,09^{2}=1,1881\end{aligned}}$

Regra do 72

Pela regra do 72 estima-se que um capital dobra à fracão de $72 \over taxa$, portanto: $2C=C\times {72 \over i}$

• Q188487

Price

$pmt=PV*{\frac {F*i}{F-1}}$

ou

$pmt=PV*{\frac {i}{1-{\color {red}{F^{-}}}}}$

ou

$PV=pmt*{\frac {1-{\color {red}{F^{-}}}}{i}}$

A equação ${F*i} \over {F-1}$ é chamada de Fator de Recuperação de Capital.

O Valor Presente (Present Value) a partir da prestação é dado por: $PV=pmt*{{F-1} \over {F*i}}$.

Price Expressão equivalente

A fórmula de cálculo para a parcela em Price é equivalente às somas das capitalizações no tempo, conforme as expressões a seguir:

$pmt=PV*{\frac {F*i}{F-1}}=\sum _{\text{n=1}}{\frac {pmt}{F}}$

Demonstração: tomando por base o exemplo anterior, onde o montante de $ 1.000,00 à taxa de 3% a.m., durante 4 meses, resultando na parcela de $ 269,03 ao mês, a soma das capitalizações dessas parcelas se dá conforme a seguir:

$1.000,00\approx {\frac {269,03}{(1+0,03)^{1}}}+{\frac {269,03}{(1+0,03)^{2}}}+{\frac {269,03}{(1+0,04)^{3}}}+{\frac {269,03}{(1+0,03)^{4}}}$

OU

$1.000,00\approx {\frac {1}{(1+0,03)^{1}}}X+{\frac {1}{(1+0,03)^{2}}}X+{\frac {1}{(1+0,04)^{3}}}X+{\frac {1}{(1+0,03)^{4}}}X\Rightarrow$

$0,970874X+0,942596X+0,915142X+0,888487X\Rightarrow {\frac {1.000}{3,717098}}=269,03$

Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, real e aparente

Taxa nominal

Taxa de juro de referência para um horizonte de tempo que compreende múltiplos períodos de capitalização.

Taxa proporcional

Uma taxa proporcional de juro se refere à capitalização por juros simples.

$I=i*n$

Exemplo:

0,5% capitalizado mensalmente é proporcional a 6% ao ano.

Taxa Efetiva

$I_{e}=(1+{i \over N})^{\frac {N}{n}}-1$

ou

$I_{e}\ =\ {\frac {i}{\color {red}{f^{-}}}}$

Onde:

• $I_{e}$: taxa efetiva procurada;
• $i$: taxa nominal;
• $N$: número de capitalizações da taxa apresentada;
• ${\frac {N}{_{n}}}$: razão entre o número de capitalizações maior e menor, ou seja, o número de vezes que o tempo menor cabe no maior.

Exemplo:

Sendo a taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal, a expressão matemática da taxa efetiva bimensal é

${\begin{aligned}I_{e}&=[1+{0,36 \over 12}]^{\frac {12}{6}}-1\Rightarrow [1+{0,36 \over 12}]^{2}-1\end{aligned}}$

• Q460819

Uma pessoa aplicou determinado capital durante cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, para saldar uma dívida de $ 12.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. Nessa situação, a taxa mensal efetiva para o desconto comercial foi de:

${\begin{aligned}I_{e}&={\frac {0,05}{1-0,05*4}}\\&={\frac {0,05}{1-0,2}}\\&={\frac {0,05}{0,8}}\\&=0,0625{\text{ → }}6,25\%\end{aligned}}$

Taxa Real

$(1+A)\ =\ (1+R)\cdot (1+F){\text{→ velho Arf!}}$

Onde:

• $A$: taxa Aparente;
• $R$: taxa Real;
• $F$: taxa de Inflação.

Q545738 Q30391

Capitalização e desconto

Capitalização

Capitalizando → $R=A\cdot {\frac {F-1}{i}}$

Descapitalização

Descapitalizando → $R=A\cdot {\frac {{\color {red}1-}{\color {red}{F^{-}}}}{i}}$

Importante: quando na capitalização há também juros incidentes sobre o último depósito/investimento, então, na descapitalização basta aplicar a fórmula de juros compostos para se obter o valor da anuidade ($A$). Exemplo: $A*(1+i)^{n}$.

TIR

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$ 120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

${VPL}=-100+{\frac {120}{(1+i)^{1}}}$

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%

Exemplo: A empresa X vai contratar a empresa Y para realizar um serviço no valor total de 10 milhões de reais. Tal valor será pago em três parcelas, cujos percentuais do valor total do serviço estão apresentados a seguir:

Parcela 1 – 17,5% no ato da contratação;

Parcela 2 – 22,0% para 12 meses após a assinatura do contrato;

Parcela 3 – 60,5% para 24 meses após a assinatura do contrato.

Qual é o valor atual desse contrato para a empresa X, considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a.?

$$Parcelas=\left\{{\begin{matrix}P1&=10.000*0,175&=1.750\\P2&=10.000*0,22&=2.200\\P3&=10.000*0,605&=6.050\end{matrix}}\right.$$

$$1.750+{P1 \over 1,1}+{P2 \over 1,1*1,1}={\text{ Valor Atual}}$$

$$1.750+{(2.200*1,1)+6.050 \over 1,1*1,1}=8.750*1000=\color {green}{8.750.000,00}$$

• Q877713

Desconto Comercial Simples ou por fora

$D=Nin$

Desconto Comercial Composto

O valor Atual ($A$) se obtém pela seguinte do Desconto Comercial Composto:

$A=N\cdot (1{\color {red}{-}}i)^{n}$

Desconto Racional Simples

$A={\frac {N}{f}}$

Desconto Racional Composto

$A={\frac {N}{F}}$

Amortização na Tabela Price

$A_{n}=A_{1}\cdot (1+i)^{\color {red}{n-1}}$

ou

$A_{n}=A_{1}+r{\color {red}{(n-1)}}$

Sistema de Amortização Misto

Formação da parcela: $P_{\text{SAM}}={\frac {P_{\text{Price}}+P_{\text{SAC}}}{2}}$

Taxa equivalente

$i_{eq}={\frac {i}{1-in}}$

2018 Banca: FGV Órgão: Banestes Provas: FGV - 2018 - Banestes - Analista Econômico Financeiro - Gestão Contábil

Uma instituição financeira realiza operações de desconto simples comercial à taxa de 4% a.m.. Um cliente desse banco descontou uma nota promissória cinco meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto efetiva linear é: $5\%{\text{am}}$

${\begin{aligned}i_{eq}&={0,04 \over 1-0,04*5}\\i_{eq}&={0,04 \over 1-0,20}\\i_{eq}&={0,04 \over 0,8}\\i_{eq}&={4 \over 80}\\i_{eq}&={1 \over 20}\\i_{eq}&={0,05}\end{aligned}}$

Atualização Monetária

$ValorAPagar=ValorNoVencimento\cdot {\frac {i\%NoPagamento}{i\%NoVencimento}}$

Exemplo

Dado que um valor no dia de seu vencimento era de $ 100,00, e tinha conforme a tabela de atualização monetária o índice de 49,768770 e na data do pagamento o índice é 54,527049. Qual é o valor atualizado?

$ValorAtualizado=100,00\cdot {\frac {54,527049}{49,768770}}\approx 109,56$

Exemplo com juros

Dado dado o exemplo anterior, sendo de 3 meses, mais juros de 1% ao mês (lembrando que se aplica juros simples).

$ValorAtualizado=100,00\cdot {\frac {54,527049}{49,768770}}\cdot 3(1+0,01)\approx 112,84$

Ver: Aprenda a fazer atualização monetária - TJ/SP

Probabilidade

Combinação simples

$C_{s}^{n}={\frac {n!}{s!\left(n-s\right)!}}\,\!$

• Na combinação $ab=ba$

Exemplo

Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 10 pessoas?

$C_{3}^{10}={\frac {10!}{3!\left(10-3\right)!}}\,\!=120$

Combinação com repetição

Quando a ordem não importa, mas cada objeto pode ser escolhido mais de uma vez, o número de combinações é

$CR_{s}^{n}={{n+s-1} \choose {s}}={{(n+s-1)!} \over {s!(n-1)!}}$

Exemplo

Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de coco e pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada, de modo que, em cada saquinho, haja, no mínimo, três balas de cada sabor. Um saquinho diferencia-se de outro pela quantidade de balas de cada sabor. Por exemplo, seis balas de hortelã, quatro de coco e três de caramelo compõem um saquinho diferente de outro que contenha seis balas de coco, quatro de hortelã e três de caramelo. Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser "montados"?

Como é necessário que cada saquinho tenha 3 balas de cada sabor, então, haverão 9 balas já definidas, restando apenas um espaço de combinação$(s)$ para 4 balas, ao qual se pode escolher de qualquer maneira umas das 3$(n)$ amostras de sabor.

$CR_{s}^{n}={{(3+4-1)!} \over {4!(3-1)!}}=15$

Arranjo simples

$A_{r}^{n}={\frac {n!}{\left(n-r\right)!}}$

• Em arranjo $ab\neq ba$

Uso

Exemplo: Num grupo de 10 pessoas quantas chapas diferentes com Presidente, Tesoureiro e Secretário?

$A_{3}^{10}={\frac {10!}{\left(10-3\right)!}}=720$

Permutação com Repetição

$P_{\text{a,b,c,...}}^{n}={\frac {n!}{a!,b!,c!,...}}$

Exemplo: anagramas da palavra BANANA

$P_{\text{3,2}}^{6}={\frac {6!}{3!\cdot 2!}}=60$

Permutação Circular

$P_{c}=(n-1)!$

ou

$P_{c}(n)={\frac {n!}{n}}$

Problema de quantas maneiras seria possível sentar numa mesa de n lugares.

Arranjo com repetição

$AR_{r}^{n}=n^{r}$

Exemplo:

Um sistema operacional de computador permite atribuir nomes aos arquivos utilizando qualquer combinação de letras maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9), mas o número de caracteres do nome do arquivo deve ser no máximo 8 (e deve haver ao menos um caractere no nome do arquivo). São exemplos de nomes válidos: Y56, G, 8JJ e FGHI7890. São exemplos de nomes inválidos B*32 (por ter um caractere não permitido) e CLARINETE (por possuir mais do que 8 caracteres (SCHEINERMAN, 2015, adaptado).

Podem ser utilizados um total de 36 caracteres, sendo 26 letras e 10 algarismos. Como a ordem dos caracteres é relevante (alterando a ordem dos caracteres obtém-se nomes diferentes), trata-se de um problema de listas. Ficou estabelecido o número máximo de caracteres igual a 8 e o número mínimo de caracteres igual a 1. Logo, para cada palavra com n caracteres, tem-se 36n possibilidades. Portanto, a quantidade possível de nomes de arquivos diferentes nesse sistema operacional é determinada por:

$36+36^{2}+36^{3}+36^{4}+36^{5}+36^{6}+36^{7}+36^{8}$

Somatória regressiva

$S^{n}={\frac {n}{2}}\cdot (n+1)$

Exemplo

Dado qualquer número a soma sucessiva decremental (-1) até 1 se aplica à fórmula.

$n=10\Rightarrow 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55$

$n=10\Rightarrow {\frac {10}{2}}\cdot (10+1)=5\cdot 11=55$

Combinação Circular

$C^{n}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)$

Exemplo

Em uma reunião com 5 pessoas em que cada pessoa cumprimenta a outra quanto apertos de mão serão realizados. Ou, em um capeonato com 5 times em que cada time enfreta os demais, quantas serão as partidas realizadas? $\color {green}{9}$

$C^{5}={\frac {5}{2}}\cdot (5-1)=10$

Mais detalhes: é possível também o resultado a partir da expressão $(n-1)!$, contudo, em situações onde se tenha o número final de combinações e se deseja saber o valor $n$ inicial, se torna mais difícil a descoberta do número fatorial adequado. Veja:

Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia reunião se foram trocados $45$ apertos de mão?

${n \over 2}\cdot (n-1)=45\Rightarrow n\cdot (n-1)=90\Rightarrow n^{2}-n-90\Rightarrow 9$

Nesse caso, para rápida solução considerar o valor do $n$ da equação $(n-1)!$

Conceitos e definições de probabilidade

Dois eventos $A$ e $B$ são ditos independentes quando:

• $P(A|B)=P(A)$, isto é, a probabilidade de $A$ independe da probabilidade de $B$.

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

• $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

• $P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)$, ou seja, a probilidade de $A$ com a probabilidade de $B$ são independentes até mesmo superando 100%.

• Q357207

• Quando: $P(A|B)=0{\text{, }}P(A)>0{\text{ e }}P(B)>0$

Então: $A{\text{ e }}B$ são eventos disjuntos, mas não independentes.

Função de Distribuição Probabilidade de Poisson

$f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!$

onde:

$n$ é o número de tentativas;

$p$ é a probabilidade de sucesso $p=1-q$;

$q$ é a probabilidade de fracasso $q=1-p$;

$k$ é o número de sucessos esperados.

Importante

Em Poisson, a variância é igual à média. Lembrar que diferente da função Exponencial, ao qual o desvio padrão é igual à média.

Função de Distribuição Probabilidade Exponencial

Função contínua $f(x;\lambda )=\lambda e^{-{\lambda x}}$ para x ≥ 0

Onde:

λ > 0 é o parâmetro da taxa;

x é a variável aleatória que representa o tempo entre eventos.

Propriedades:

• Esperança (Média) e Variância:
  • A média (ou valor esperado) da distribuição exponencial é ${\frac {1}{\lambda }}$​.
  • A variância da distribuição exponencial é ${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$​.

Exemplo Prático: Suponha que o tempo (em horas) entre falhas de uma máquina segue uma distribuição exponencial com uma taxa de falha λ = 0,5 falhas por hora. Isso significa que o tempo médio entre falhas é 1/λ = 2 horas. Para calcular a probabilidade de a máquina operar por pelo menos 3 horas sem falhar: P(X>3) = 1 − F(3; 0,5) = 1 − (1 −e^(−0,5 ⋅ 3) = e^(−3/5) ≈ 0,2231

Função de Distribuição Probabilidade Binomial

$p(x=k)=\mathbb {C} _{k}^{n}{p^{k}}q^{n-k}$

A distribuição binomail é uma Função de Distribuição Contínua, portanto, $p(x=n)\approx 0,0\approx {\frac {n}{\infty }}$.

Também, ter em mente que $p\cdot q\leq 0,25$.

onde:

$n$ é o número de tentativas;

$k$ é o número de sucessos esperados;

$p$ é a probabilidade de sucesso $p=1-q$;

$q$ é a probabilidade de fracasso $q=1-p$.

$p(n,k,p)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\ {p^{k}}{(1-p)^{n-k}}$

$p(n,k,p,q)=\mathbb {C} _{k}^{n}\cdot {p^{k}}\cdot {q^{n-k}}$

Exemplo: Qual a probabilidade de se obter 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda?

$$p(k)=\left\{{\begin{matrix}n&=5\\k&=3\\p&={\frac {1}{2}}\\q&={\frac {1}{2}}\end{matrix}}\right.$$

$$p(k)={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}\cdot {({\frac {1}{2}})}^{3}\cdot {({\frac {1}{2}})}^{(5-3)}={\frac {10}{32}}$$

Deduções

Como a distribuição binomial corresponde à $n$ experimentos de Bernoulli (Q25720), pode-se provar que:

$E(x)=n\cdot p$

$Var(x)=E(x)\cdot (1-p)=n\cdot (p-p^{2})$

Teorema de Bayes

$${\text{Variáveis}}=\left\{{\begin{matrix}\color {red}{q}&=\color {red}{\text{probabilidade de fracasso (1 - p)}}\\\color {green}{p}&=\color {green}{\text{probabilidade de sucesso (1 - q)}}\\\color {purple}{Q}&=\color {purple}{\text{certeza de fracasso. Se não informado é (1 - P)}}\\\color {blue}{P}&=\color {blue}{\text{incerteza do fracasso. Se não dado é (1 - Q)}}\\\color {orange}{*}&=\color {orange}{\text{q + p não precisa necessariamente ser 1}}\\\color {orange}{*}&=\color {orange}{\text{Q + P não precisa necessariamente ser 1}}\end{matrix}}\right.$$

$P(A\mid B)={{P(B\mid A)\ P(A)} \over P(B)}$

$\%Bayes={\frac {\color {red}{q}\color {purple}{Q}}{\color {red}{q}\color {purple}{Q}+\color {green}{p}\color {blue}{P}}}$

• Exercício
• Questão

Cálculo da inflação acumulada

Para se apurar a inflação acumulada em um certo período de tempo e dada pela fórmula matemática:

$I_{n}=(1+i_{1})\cdot (1+i_{2})\cdot ...(1+i_{n})-1$

Onde:

• $I_{n}$ é a inflação do período 1 até o período $_{n}$;
• $(1+i_{1,2,...,n})$ é o fator de inflação de cada período.

Exemplo

Tendo como base a inflação no Brasil do período de 2001 até 2005, conforme a tabela abaixo, qual é a inflação acumulada do período?

Ano	Inflação
2001	7,67%
2002	12,53%
2003	9,3%
2004	7,6%
2005	5,69%

Cálculo:

  ${\begin{aligned}I_{[2001a2005]}&=(1+0,0767)\cdot (1+0,1253)\cdot (1+0,093)\cdot (1+0,076)\cdot (1+0,0569)-1\\I_{[2001a2005]}&=1,0767\cdot 1,1253\cdot 1,093\cdot 1,076\cdot 1,0569-1\\I_{[2001a2005]}&=1,5060-1\\I_{[2001a2005]}&=0,5060\\I_{[2001a2005]}&=(0,5060\times 100)=50,6\%{\text{ é a inflação do período }}\end{aligned}}$

Geometria plana - lados do triângulo

Pitágoras

Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Área do triângulo

$A={\frac {bh}{2}}$

Base (b) * (h) Altura.

Área do quadrado

$A=l^{2}{\text{ ou }}{\frac {diagonal^{2}}{2}}$

Centro do triângulo equilátero

https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/questao/3fa7b21d-63

$Centro={\frac {Lado*{\sqrt {(}}3)}{3}}$

Diagonal do quadrado

$d=lado*{\sqrt {2}}$

Círculo

${\text{Diâmetro}}=2\cdot {\text{raio}}$

${\text{Perímetro = Circunferência}}$

${\text{Circunferência}}={\text{Diâmetro}}\cdot \pi$

Área do círculo

$A=\pi \cdot r^{2}{\text{ → Lembrar de Pierre}}^{2}$

Volume cúbico

$V^{3}={\text{profundidade}}*{\text{largura}}*{\text{comprimento}}*1.000$

Vértice

O cálculo do vértice possibilita verificar qual a maior área disponível a partir de uma base dada.

$V(x)={\frac {-b}{2a}}{\text{, onde }}V(x)=ax^{2}+bx$

Questão exemplo: Uma pessoa tem 80m de arame para cercar um terreno de forma retangular, sendo que um dos lados do terreno é um rio que não precisará de cerca de arame. Qual deve ser o valor de cada lado X para que o terreno cercado tenha a máxima área?

${\begin{aligned}{\text{Área}}=2x+y&=80\\y&=80-2x\\\\{\text{Área}}&=x\cdot y\\{\text{Área}}&=x\cdot (80-2x)\\{\text{Área}}&=80x\cdot -2x^{2}\\{\text{Vértice}}(x)&={\frac {-b}{2a}}{\text{, onde }}V(x)=ax^{2}+bx\\{\text{Vértice}}(x)&={\frac {-80}{2\cdot -2}}\\{\text{Vértice}}(x)&=20\end{aligned}}$

Questão

Volume do cilindro

$V={\text{Área base do círculo}}\cdot h$

$V=\pi *r^{2}*h$

Estatística

Medidas de tendência central

Amostras

• Amostra NÃO É um subconjunto qualquer de uma população;
• Quando os elementos de uma população puderem ser contados, porém apresentando uma quantidade muito grande, assume-se a população como infinita;
• Estudos envolvendo populações infinitas devem ser realizados com a utilização de amostras.

Média

Média populacional $\mu$ e média amostral ${\bar {\mu }}$.

${\text{Média }}({\bar {x}})={\frac {x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})}{n}}$

Desvio Médio

${\text{Desvio Médio}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(|x_{i}-{\bar {x}}|)}{n}}$

Estimativa de média

${\begin{aligned}{\text{Média da frequência}}({\bar {x}})={\frac {\sum {({\bar {x}}_{classe_{i}}\cdot {\bar {x}}_{f_{i}})}}{\sum {f_{i}}}}\\{\text{Onde }}{\bar {x}}_{classe_{i}}={\text{ Ponto médio da classe }}={\frac {LS_{clases}-LI_{classe}}{2}}\end{aligned}}$

Classes de rendimentos mensaisem salários	Frequência Relativa(%)
Sem rendimentos	10
Até 1	30
Mais de 1 a 2	30
Mais de 2 a 3	10
Mais de 3 a 5	10
Mais de 5 a 10	8
Mais de 10 a 20	2
Total	100

Qual é a estimativa de média da distribuição anterior? $2,15$

Bem, essa questão realmente é uma estimativa, porque a partir das amostras não há como afirmar com certeza o salário médio, haja vista haver intervalos entre as classes, daí a própria noção de estimativa dentro de uma faixa.

É importante notar que a distribuição apresentada traz apenas as frequências relativas da distribuição, ou seja, não ha como se afirmar os valores absolutos das amostras, apenas os relativos.

Para a apuração da média entre as classes será necessário determinar três novas colunas, quais sejam:

1. Ponto médio de cada intervalo de classe $({\bar {x}}_{classe_{i}})$;
2. Ponto médio da frequência relativa $({\bar {x}}_{f_{i}})$;
3. E por fim a que defina o produto dos médios $({\bar {x}}_{classe_{i}}\cdot {\bar {x}}_{f_{i}})$: média do intervalo(${\bar {x}}_{classe_{i}}$) multiplicado pela média da frequência relativa(${\bar {x}}_{f_{i}}$).

Salário $classe_{i}$	Ponto médio da classe ${\bar {x}}_{classe_{i}}$	Frequência relativa $f_{i}$	Ponto médio $({\bar {x}}_{classe_{i}}\cdot {\bar {x}}_{f_{i}})$
0	0	10	0
(0 ; 1]	0,5	30	15
(1 ; 2]	1,5	30	45
(2 ; 3]	2,5	10	40
(3 ; 5]	4	10	40
(5 ; 10]	7,5	8	60
(10 ; 20]	15	2	30
$\Sigma$		$\color {purple}{100}$	$\color {olive}{215}$

${\text{Média da frequência}}({\bar {x}})={\frac {\color {olive}{215}}{\color {purple}{100}}}=2,15$

Média ponderada

$\sum (xi\times Peso) \over \sum (xi)$

• Q50891

Média móvel

É a média$({\bar {x}})$ repetida/esperada para o próximo evento.

• Q425543

Sazonalidade

A sazonalidade é determinada pela razão entre a amostra$(x_{i})$ observada e a média$({\bar {x}})$ das amostras: $x_{i} \over {\bar {x}}$.

Exemplo: um construtor nos meses x, y, e z, respectivamente, constrói 4, 4 e 2 casas. Qual é a sazonalidade do mês z? ${\frac {2}{{\bar {x}}={\frac {4+4+2}{3}}}}={\frac {6}{10}}={\frac {3}{5}}=0,6{\text{ ou }}60\%$

• Q425541

Mediana

A mediana de um rol representa a amostra que está no ponto central, e quando a contagem dessa amostra resultar em um número par, a mediana será a média entre os 2 termos centrais.

$Mediana={\frac {n+1}{2}}$

Mediana, Média e Moda

Em uma distribuição unimodal, sendo a mediana igual à média, não há garantia que a moda também seja igual à mediana e à média.

Mediana de uma frequência de classes

A mediana se obtem pela interpolar dada por:

$\left\{{\begin{matrix}x&={\text{Frequência absoluta}}\\X&={\text{Frequência absoluta acumulada}}\\f&={\text{frequência relativa}}\\F&={\text{Frequência relativa acumulada}}\end{matrix}}\right.$

${\frac {LS(_{classe_{i}})-Mediana(_{classe_{i}})}{LS(_{classe_{i}})-LI(_{classe_{i}})}}={\frac {F_{i}-{\frac {1}{2}}}{F_{i}-F_{(i-)}}}$

Intervalos $(classes)$		Frequência Relativa $(f_{i})$	Frequência Relativa Acumulada$(F_{i})$
-3	-1	0,25	0,25
-1	1	0,40	0,65
1	3	0,25	0,90
3	5	0,10	1,00
$\sum$		1,00	-

A mediana entre as classes se encontra onde a frequência atinge $50\%(_{i})$ da amostra, sendo o Limite Inferior entre as frequências a frequência antecessora àquela da classe $(_{i-1})$, e o Limite Superior o desta classe $(_{i})$.

Na distribuição dada, o Limite Superior das frequência é $F_{i}=0,65$ e o Limite Inferior é a frequência anterior $F_{(i-1)}=0,25$.

${\frac {1-Mediana}{1-(-1)}}={\frac {0,65-0,50}{0,65-0,25}}::Mediana=0,25$

Regra de Sturges para definição do número de classes $(n)$

$k=CEILING(1+3,3log(n))$

${\text{Onde n(a) é o número de amostras e CEILING(x) é a função para truncar para cima um valor}}$

Exemplo

Determinar o número de classes e os intervalos entre elas dado um rol de n(a) = n(200), ou seja, 200 amostras: $Rol=10,10,10,...70$.

$k=CEILING(1+3,3\cdot log(200)=1+3,3\cdot 2,3010\approx 8,5933)=9$

$Amplitude(H)=CEILING({\frac {Higher-Lower}{k}}={\frac {70-10}{9}}\approx 6,67)=7$

Regra de Sturges para a construção de intervalos de classes

Variância

Representada pelo símbolo $\sigma ^{2}$ quando referente a uma amostra e $s^{2}$ quando referente a uma população, ou mesmo $\operatorname {Var} (X)$.

${\text{Variância}}(S^{2})={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n\color {red}{-(0{\text{ ou }}1^{*{\text{quando amostra}}}})}}$

${\text{Variância}}(S^{2})=({\text{média dos quadrados}}-{\text{quadrado das médias}}){\color {red}{_{*}}}{\text{ Usar essa expressão quando já dados os valores!}}$

${\text{Média }}({\bar {x}})={\frac {(-1\times 0,3)+(0\times 0,1)+(1\times 0,6)}{1}}=0,3$

${\text{Média dos quadrados}}({\bar {x}}^{2})={\frac {(-1^{2}\times 0,3)+(0^{2}\times 0,1)+(1^{2}\times 0,6)}{1}}=0,9$

População região sul
Estado/Ano	2012	2013	2014
Paraná	10.577.755	10.997.465	11.081.692
Santa Catarina	6.383.286	6.634.254	6.727.148
Rio Grande do Sul	10.770.603	11.164.043	11.207.274
Total $\sum$	27.731.644	28.795.762	29.016.114
Média $\mu$	9.243.881	9.598.587	9.672.038

Propriedades

• Uma constante$(k)$ somada ou diminuída às observações não altera a ${\text{Variância}}({\sigma }^{2})$;
• Uma constante$(k)$ que multiplica ou divide as observações deve também multiplicar ou dividir o seu quadrado$(k^{2})$ pela ${\text{Variância}}({\sigma }^{2})$, ou seja, ${\text{Variância}}({\sigma }^{2})\cdot k^{2}$ ou ${\text{Variância}}({\sigma }^{2}) \over k^{2}$.

• Atenção: É diferente o resultado da variância das amostras em relação ao seu agrupamento multiplicado pelo peso/aparições.

• Q188466

Variância amostral

$\sigma ^{2}={\frac {1}{(n-1)}}\times [\sum ({X_{i}}^{2})-{\frac {\sum (X_{i})^{2}}{n}}]$

Exemplo: Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por; i = 1, 2, ... , 10. Sabe-se que $\sum _{i=1}^{10}X_{i}=270$ e $\sum _{i=1}^{10}X_{i}^{2}=7.803.$ A variância dessa amostra apresenta o valor de: $\color {green}{57,0.}$

${\begin{aligned}\sigma ^{2}={\frac {1}{(10-1)}}\times (7.803-{\frac {270^{2}}{10}})\\{\frac {1}{9}}\times (7.803-{\frac {72.900}{10}})\\{\frac {1}{9}}\times (7.803-7.290)\\{\frac {1}{9}}\times 513=\color {green}{57,0}\end{aligned}}$

• Q67428

Propriedade comutativa da variância

Sendo x a representação dos elementos da amostra:

$Var({\frac {x}{n}})={\frac {1^{2}}{n^{2}}}\cdot Var(x)$

Q1998483

Variáveis aleatórias

A covariância entre variáveis independentes é zero.

Isso se deve ao fato de que a independência entre duas variáveis aleatórias implica que não há relação linear entre elas.

Relação Variância e Covariância

Formalmente, se $X$ e $Y$ são variáveis aleatórias independentes, a covariância $Cov(X,Y)$ é dada por:

$Cov(x,y)=E(x.y)-E(x)\times E(y)$ Sendo que o Valor Esperado($E$) é a Média(${\bar {x}}$).

$\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y)$

• Q223620

$\operatorname {Var} (aX)=a^{2}V(X)$

$\operatorname {Var} (bY)=b^{2}V(Y)$

$V(aX)+V(bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)$

$V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2.a.b.COV(x,y)$

Correlação entre duas variáveis (X, Y)

${\text{Correlação(x, y)}}={\frac {Cov(x,y)}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}$

Sendo ${\text{Correlação}}(x,y)>0$ positiva e, caso contrário, negativa.

• Ver Q2233051

Se x = y, então: $Cov(x,y)=Var(x,y)=E(x,y)=1$.

Se Cov(x, y, z) = Soma combinações de Cov(x...z).

• Q2114792

Correlação Linear

$\rho _{X,Y}\equiv \mathrm {corr} (x,y)={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})] \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}$

• Q236114

Funções de Distribuição de Probabilidade

Funções de Distribuição de Probabilidades Discretas

As Funções de Distribuição Probabilidade Contínuas (FDPc) têm $p(x=n)\approx 0,0\approx {\frac {n}{\infty }}$.

Função de Massa de Probabilidade

A Função de Massa de Probabilidade (FMP), ou Função de Massa de Probabilidade (PMF, do inglês Probability Mass Function), é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória discreta assumir um determinado valor específico. Em outras palavras, ela fornece a probabilidade associada a cada valor possível da variável aleatória discreta.

Definição Formal:

Para uma variável aleatória discreta X que pode assumir valores em um conjunto {x1​,x2​,x3​,…}, a função de massa de probabilidade p(x) é definida como: $p(x)=P(X=x)$

onde $P(X=x)$ é a probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor x.

Propriedades da FMP:

Não-Negatividade: Para todo x, p(x) ≥ 0.

Soma das Probabilidades: A soma das probabilidades de todos os valores possíveis da variável aleatória é igual a 1: ∑x∈Suporte de X​p(x)=1

Funções de Distribuição de Probabilidades Contínuas

As Funções de Distribuição Probabilidade Contínuas (FDPc) têm $p(x=n)\approx 0,0\approx {\frac {n}{\infty }}$.

Distribuição Normal

A partir de uma curva gausiana onde a média está no centro da curva há uma distribuição normal, a partir do centro, de:

${\begin{aligned}68,26\%&>=1{\text{ Desvio}}\\95,44\%&>=2{\text{ Desvios}}\Rightarrow {\text{Considerando Z de}}{\frac {95\%}{2}}=0,4750\Rightarrow \color {blue}{z=1,96}\\99,73\%&>=3{\text{ Desvios}}\end{aligned}}$

Margem = $z\cdot \sigma$

Cuja probabilidade dada uma média$({\text{μ}})$ e o desvio padrão$(S)$ é $z={{\text{Desvios}}-{\text{Média}}({\text{μ}}) \over {\text{Desvio Padrão}}(S)}$. O $z$ representa a distância a partir do centro da distribuição, portanto, $0,5\pm z$.

Exemplo: Estima-se que os retornos de um determinado mercado tenham distribuição normal, com média 20% e desvio padrão 10%. A probabilidade de perdas financeiras é de: $2,5\%$.

$Z={0-0,2 \over 0,1}=\color {red}{-2}$

Nesse caso, o número de desvios é 0 (zero) porque 10% do desvio padrão está na área dentro do intervalo de $68\%$, assim não há deslocamento que supere $34\%={68 \over 2}$ à esquerda (prejuízo). Então, como $\color {red}{-2}$ denota que haverá deslocamento de 2 desvios padrão à esquerda, portanto, situando o desvio na posição $95,44\%$.

A ${\text{Média}}({\text{μ}})$ menos $2{\text{ Desvios}}$, então,

${{1-95,44\%} \over 2}={\frac {1}{2}}-{\frac {95,44\%}{2}}=0,50\%-47,22\%=2,3\%$

Distribuição Normal por Regra Empírica

A Regra Empírica infere que uma distribuição tem maior possibilidade dentro das Frequências Acumul $(F_{i})=\color {red}{\text{68; 95; e 99,7}}$.

Considere que a média de peso de meninas de 1 ano de idade nos EUA é normalmente distribuída com uma média de cerca de 9,5kg e com um desvio padrão$(\sigma )$ aproximadamente de 1,1kg. Sem usar a calculadora, estime a quantidade de meninas de 1 ano de idade que tenha as seguintes condições:

• (a) Menos de 8,4kg: $16\%$
• (b) Entre 7,3kg e 11,7kg: $95\%$
• (c) Mais que 12,8kg: $0,15\%$

• Problemas de Distribuição Normal: Regra Empírica

Amostra mínima por distribuição normal

$n=({z\times \sigma \over e})^{2}$

Exemplo:

Dado que: Z tem distribuição normal padrão, então:

$P(Z>1,64)=0,05,P(Z>2)=0,02,P(0<Z<2,4)=0,49,P(0<Z<0,68)=0,25$

Se t tem distribuição de Student com 3 graus de liberdade P(t > 1,638) = 0,10;

Se t tem distribuição de Student com 4 graus de liberdade P(t > 1,533) = 0,10.

A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo requerido para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize um serviço, é distribuído de maneira aproximadamente normal com desvio padrão de 12 minutos. Deseja- se, por meio de uma amostra aleatória, com reposição, estimar a média populacional. O tamanho desta amostra, para que a diferença em valor absoluto entrverddddadeiro valor populacional e sua estimativa seja de no máximo 2 minutos, com probabilidade de 96%, é: $144$

$n=({2\times 12 \over 2})^{2}=12^{2}=144$

• Q23590

Distribuição Logística

A função de distribuição logística é uma função de distribuição de probabilidade que é amplamente utilizada em estatística e econometria, especialmente em contextos de modelos de regressão logística.

Esta distribuição é simétrica em torno do seu ponto médio e tem caudas que se aproximam exponencialmente, mas que nunca tocam o eixo horizontal.

Definição A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição logística para uma variável aleatória X com parâmetros de localização μ (média) e escala s (desvio) é dada pela função Sigmóide.

Aqui:

μ é o parâmetro de localização (média); s é o parâmetro de escala, que determina a dispersão da distribuição; e é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

A função de densidade de probabilidade (PDF) correspondente é:

Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle f(x; \mu, s) = s(1+e−​)2e−sx−μ​​}

Propriedades:

Simetria: A distribuição é simétrica em torno de μ.

Média e Mediana: Ambas são iguais a μ.

Variância: A variância é dada por 3π2s2​.

Caudas: As caudas da distribuição decrescem exponencialmente, mas mais lentamente do que a distribuição normal.

Exemplos e Aplicações

1. Modelo de Regressão Logística

A regressão logística é uma aplicação comum da distribuição logística. Em um modelo de regressão logística, a probabilidade de um evento binário (como sucesso/falha, 0/1) é modelada usando a função logística.

Por exemplo, suponha que queremos modelar a probabilidade de um paciente ter uma doença baseada em alguma característica, como o nível de colesterol. Seja X o nível de colesterol, o modelo logístico pode ser expresso como:

P(Y=1∣X=x)=1+e−(β0​+β1​x)1​

Aqui, β0​ e β1​ são parâmetros a serem estimados a partir dos dados.

2. Exemplificação Numérica

Vamos considerar uma variável aleatória X que segue uma distribuição logística com μ=0 e s=1.

A CDF da distribuição logística com esses parâmetros é:

F(x;0,1)=1+e−x1​

A PDF correspondente é:

f(x;0,1)=(1+e−x)2e−x​=(1+ex)2ex​

Para calcular a probabilidade de X ser menor ou igual a 1 (usando a CDF):

F(1;0,1)=1+e−11​=1+e1​1​=e+1e​≈0.731

Isso significa que a probabilidade de X ser menor ou igual a 1 é aproximadamente 73.1%.

Para a PDF no ponto x=1:

f(1;0,1)=(1+e−1)2e−1​=(1+e1​)2e1​​=e(1+e−1)21​≈0.1966

Isso fornece a densidade da função logística no ponto x=1.

Conclusão

A função de distribuição logística é uma ferramenta útil em estatística, especialmente para modelar distribuições de dados que são simétricas e possuem caudas exponenciais. É amplamente utilizada em regressão logística para modelar a probabilidade de eventos binários, oferecendo uma maneira prática de lidar com problemas de classificação binária.

Valor esperado e possibilidade

$\left\{{\begin{matrix}V({\text{Variância}})\\E({\text{Esperado}})\\P({\text{Possibilidade}})\end{matrix}}\right.$

$V=E(1-p)$

Bem como:

$E=n\cdot p$

Exemplo

Quando um pesquisador vai a campo e aborda pessoas na rua para serem entrevistadas, o número de pessoas que aceita responder à pesquisa segue uma distribuição binomial.

Se o valor esperado dessa distribuição é 8, e sua variância é 1,6, então a probabilidade de uma pessoa aceitar responder à pesquisa é de $0,8$.

$$\left\{{\begin{matrix}V&=1,6\\E&=8\end{matrix}}\right.$$

${\begin{aligned}1,6&=8(1-p)\\p&=\color {green}{0,8}\end{aligned}}$

Q692042

Exemplo

Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância entre X e Y, quais- quer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que:

$E(X).E(Y)=E(XY)-Cov(X,Y)$

Q25718

Média e Variância de variável aleatória

Para uma variável aleatória de distribuição uniforme ($X$) no intervalo de $[\alpha ;\beta ]$ (onde $\alpha$ é o limite inferior e $\beta$ é o limite superior), sua Frequência de Densidade de Probabilidade (FDP) será tal que:

${\text{Média }}(X)=E(x)={\alpha +\beta \over 2}$

${\text{Variância }}(X)={(\beta -\alpha )^{2} \over 12}$

Quando $f(x)=\left\{{\begin{array}{ccl}0,&{\text{se}}&x<\alpha \\{\frac {x-\alpha }{\beta -\alpha }},&{\text{se}}&\alpha \leq x<\beta \\1,&{\text{se}}&x\geq \beta \end{array}}\right.$

Exemplo (CGU – 2008/ESAF): Sendo X aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0; 1), determine sua variância:

${\text{Variância }}(X)={(1-0)^{2} \over 12}={1 \over 12}$

Função de Probabilidade e Densidade

Encontrando o número de amostras/população dada a função de densidade.

$n=({{z\cdot \sigma } \over {Erro(E)}})^{2}$

Exemplo: Em um estudo sobre a economia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra para estimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de 95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$ 50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$ 400,00. Sabendo-se onde f(z) é a função de densidade de probabilidade com z = 1,96, pode-se concluir que o número de pessoas da amostra será:

$n=({{1,96\cdot 400} \over {50}})^{2}=245,8624\approx 246$

• Q25721

Variância em função de N, P, Q

$v=n.p.q$

Exemplo

A variância de uma amostra com $40$ observações ao qual a chance de insucesso é $0,08$, resulta em $2,944$.

$v=40\cdot 0,92\cdot 0,08=2,944$

Desvio padrão

É a raiz quadrada da Variância$({\sigma }^{2})$.

${\text{Desvio Padrão}}(\sigma )={\sqrt {{\sigma }^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n}}}}$

Erro ou Desvio Padrão de média amostral

$DP(x)={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

Q1998486

Propriedades

• Uma constante$(k)$ somada ou diminuída às observações não altera o ${\text{Desvio Padrão}}(\sigma )$;
• Uma constante$(k)$ que multiplica ou divide as observações deve também multiplicar ou dividir o ${\text{Desvio Padrão}}(\sigma )$.

Coeficiente de variação ou covariância

${\text{Coeficiente de variação}}(c_{\rm {v}})={\frac {{\text{Desvio Padrão}}(\sigma )}{{\text{Média Aritmética }}(\mu )}}$

${\text{Sendo que o coeficiente de variação tem intervalo entre 0 e 1}}$

Percentis

Posição na população: $A_{i}={{i\times n} \over {100}}$

Posição na amostra: $A_{i}={{i\times (n+1)} \over {100}}$

Exemplo: dado o rol $\{0,9;1,0;1,8;2,9;3,1;5,3;5,5;12,2;12,9;14;20\}{\text{ (11 amostras)}}$

$A_{40}={{40\times (11+1)} \over {100}}={\color {green}{\text{4,8ª Posição abrangendo os números 2,9 e 3,1.}}}$

Pela média

${\text{Portanto, aplica-se a média}}A_{40}={{2,9+3,1} \over {2}}={\color {green}{3}}{\text{ que até ele estão acumulados os 40 porcento da amostra.}}$

Pela interpolação

$[2,9\to x\to 3,1]=[4\to 4,8\to 5]\Rightarrow {{3,1-x} \over {3,1-2,9}}={{5-4,8} \over {5-1}}\Rightarrow \color {green}{x=3,06}$

Pelo complemento

${\text{Sendo 4,8 a posição que está entre 4 e 5, então:}}{{3,1-2,9} \over {10}}\times 8\Rightarrow {{0,2} \over {10}}\times 8\Rightarrow 0,02\times 8={\color {green}{3,06}}$

Quartis

$Qn=LI_{i}+[{\frac {n\cdot ({\frac {\sum {x_{i}}}{4}})-Fx_{(i-1)}}{x_{i}}}]\cdot h$

onde:

$$\left\{{\begin{matrix}LI_{i}&={\text{Limite Inferior da Classe}}\\n&={\text{Quartil enésimo}}\\i&={\text{Índice da classe onde se encontra o quartil enésimo}}\\\sum {x_{i}}&={\text{Somatório das amostras}}\\Fx_{(i-1)}&={\text{Frequência acumulada na classe do índice anterior}}\\h&={\text{Amplitude entre classes}}\\x_{i}&={\text{Frequência absoluta na classe}}\end{matrix}}\right.$$

Exemplo

Qual é o 3º quartil da distribuição de frequência a seguir: $35,9$.

1º Passo é descobrir em que classe está o 3º Quartil, isto é, $3/4$ ou $75\%$ da frequência:

$i=(\sum {x_{i=}164})\cdot {\frac {3}{4}}=123$

${\text{ ou seja, 123 está entre 100 e 164. Daí, na 4ª classe }}(i=4)$

$Q_{3}=30+[{\frac {3\cdot ({\frac {164}{4}})-64}{100}}]\cdot 10=35,9$

Outliers

Os outliers representam amostras que extrapolam as observações. Para determinar essas extrapolações (outliers), usa-se a Amplitude Interquartil (IQR - Interquartile Range) $IQR=Q3-Q1$.

A obtenção dos limites de extrapolação são mensurados a partir da seguinte expressão:

• Lembrando que amostras, são respectivamente obtidos por: $Q_{1}={n-1 \over 4}$ e $Q_{3}={3\cdot {n-1 \over 4}}$.

$l=(Q3-Q1)\cdot 1,5$

Exemplo. Dado o rol: 31, 32, 33, 36, 39, 43, 44, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 49, 52, 54, 55, 56, 56, 57, 91. Quais são os valores outliers (extrapolações).

Nesse exemplo os Quartis são: ${\text{Q1 = 43 e Q3 = 54, portanto, IQR }}=\color {red}{11}$

Os limites de outlier (extrapolação) inferior e superior, respectivamente, são: ${\begin{aligned}31-{\color {red}{11}}=20{\text{ outlier inferior}}\\91-{\color {red}{11}}=80{\text{ outlier superior}}\end{aligned}}$

A interpretação de outlier é: não há nenhum valor que extrapola o limite inferior $20$ e o valor $91$ extrapola o limite/outlier superior $80$.

Q77762

Há também os extremos, geralmente representado por um asterisco$(*)$ após a base do outlier (valores atípicos) do Gráfico de Caixa.

São valores/outliers extremos os que superam ${\color {red}{3}}\cdot (Q3-Q1)$.

• No gráfico boxplot, os outliers são os pontos a 3 desvios-padrões de distância da média.

Interpolação Linear

${\frac {Max_{classe}-Mediana_{classe}}{Max_{classe}-Min_{classe}}}={\frac {Max_{fr\%c}-Mediana_{fr\%c}}{Max_{fr\%c}-Min_{fr\%c}}}$

Ogiva

${\frac {Max_{classe}-Min_{classe}}{x_{i}}}={\frac {y-Min_{classe}}{x_{(i-1)}-x_{i}}}$

Conceitos

${\text{Média Aritmética}}{\text{ ≥ }}{\text{Média Geométrica}}{\text{ ≥ }}{\text{Média Harmônica}}$

${\text{A}}{\text{ ≥ }}{\text{G}}{\text{ ≥ }}{\text{H}}$

Coeficiente de determinação

O coeficiente de determinação, também chamado de R², é uma medida de ajustamento de um modelo estatístico linear generalizado, como a regressão linear, em relação aos valores observados. O R² varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R², mais explicativo é o modelo, melhor ele se ajusta à amostra.

$\color {red}{R>0,9{\text{ forte}}}$

Por exemplo, se o R² de um modelo é 0,8234, isto significa que 82,34% da variável dependente consegue ser explicada pelos regressores presentes no modelo.

$SQ_{\text{tot}}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}\,$

, onde $n$ é o numero de observações;

Partindo de $y_{i}$ é o valor observado e ${\bar {y}}$ é a média das observações, esta equação dá-nos a Soma Total dos Quadrados, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre a média e cada valor observado.

$SQ_{\text{res}}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y_{i}}})^{2}\,$

, onde ${\hat {y_{i}}}$ é o valor estimado (previsão) de $y_{i}$.

Esta equação é a Soma dos Quadrados dos Resíduos, que calcula a parte que não é explicada pelo modelo.

$SQ_{\text{exp}}=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y_{i}}}-{\bar {y_{i}}})^{2}\,$

, onde ${\hat {y_{i}}}$ é o valor estimado (previsão) de $y_{i}$.

Esta equação, a Soma dos Quadrados Explicada, indica-nos a diferença entre a média das observações e o valor estimado para cada observação, e soma os respectivos quadrados. Quanto menor for a diferença, maior poder explicativo detém o modelo.

Em alguns casos temos:

$SQ_{\text{tot}}=SQ_{\text{exp}}+SQ_{\text{res}}\,$,

E normalizando a equação de cima, temos que:

$R^{2}={\frac {SQ_{\text{exp}}}{SQ_{\text{tot}}}}=1-{\frac {SQ_{\text{res}}}{SQ_{\text{tot}}}}$

Curtose

A curtose é interpretada com base na distribuição normal, e assim calculada:

$c={\frac {q3-q1}{2(p90-p10)}}$

${\text{onde:}}$

$c<0,263{\text{Leptocúrtica}}$

$c=0,000{\text{Mesocúrtica}}$

$c>0,263{\text{Platicúrtica}}$

Também:

Excesso de curtose = 0 (Mesocúrtica)

Excesso de curtose > 0 (Leptocúrtica)

text{Excesso de curtose < 0 (Platicúrtica)

Considerando-se uma curtose zero, isto é, conforme a distribuição normal, então, a expressão que a representa é assim dada:

$K(X)={\frac {{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{4}}{({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2})^{2}}}-3$

• Ver Q106173

Assimetria

Assimetria de Pearson, fórmulas:

$As={\frac {3({\bar {X}}-Mo)}{\sigma }}$

$As={\frac {{\bar {X}}-Md}{\sigma }}$

$As={\frac {Q3+Q1-2Md}{Q3-Q1}}$

Assimetria positiva quando X aumenta e Y diminui, ou simplesmente a cauda indo para a direita. Também, quando a média maior que a mediana ${\bar {X}}$.

Tipos de Amostragem

Amostragem aleatória simples

• Todos os elementos (x) têm a mesma possibilidade de fazer parte da amostra, ou seja, possibilidade de $x={\frac {1}{N}}$.

Sistêmica

• Sorteia-se um pivô inicial(f) dentre a população(N), e a partir dele há um salto(r).
• Exemplo: Numa população de $N=1000$ indivíduos haverá a escolha do primeiro conforme a fórmula randômica

$r={\frac {N}{10}}$

$f=Math.random(1,r)$

for i = 0 to r - 1 => return k = f + i * r

Estratificada

• A população é dividida em grupos (clusters), e são escolhidos uma amostra dentro de cada grupo(cluster).
• Perceber que os elementos não têm exatamente a mesma probabilidade de escolha a depender do cluster onde está.
• Exemplo: Separa-se uma turma de 10 alunos de TI em grupo de mulheres e homens. Sabendo-se que serão escolhidos proporcionalmente n alguns de cada grupo, sendo que a turma tem 3 mulheres e 7 homens. Então, a probabilidade(p) de um homem ser selecionado no seu cluster é de ${\frac {1}{7}}$, e para as mulheres ${\frac {1}{3}}$.

Por conglomerados

• Sorteia-se alguns grupos dentre todos, daí toda a população de cada grupo é examinada.

Exemplo: Num presídio com 500 celas, 10 delas serão escolhidas para verificação da saúde do preso. Todos os presos das 10 celas serão examinados. Ou seja, fatiou e pegou todas as fatias!

Variância do Estimador

$S^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\text{FatorCorreção}}$

${\text{FatorCorreção}}={\frac {N-n}{N-1}}$

Exemplo: Q1699514

Tamanho mínimo da amostra

${\text{onde - Fórmula de Slovin:}}$

${\text{N = população}}$

${\text{n = amostra}}$

${\text{e = fator de erro}}$

$n={\frac {N}{1-Ne^{2}}}$

Regressão linear

Equação da Reta: $y=\alpha X+\beta$

• Q405695
• Youtube - Professor Murakami

${\text{Regressão Linear}}\rightarrow y=a+bx$

${\text{Coeficiente Angular}}\rightarrow b={n\Sigma xy-\Sigma x\Sigma y \over n\Sigma x^{2}-(\Sigma x)^{2}}$

${\text{Interceptor}}\rightarrow a={\Sigma y-b\Sigma x \over n}$

$$\left\{{\begin{matrix}Y&={\text{Variável Dependente}}\\X&={\text{Variável Explicativa}}\\a&={\text{Coeficiente angular da reta ou Intercepto}}\\b&={\text{Interpolador}}\end{matrix}}\right.$$

Regressão linear simples: $Y=a.e^{b.X}$

onde:

$$\left\{{\begin{matrix}X&={\text{Variável Explicativa}}\\Y&={\text{Variável Dependente}}\\a,b&={\text{Constantes}}\\e&={\text{Número neperiano}}\end{matrix}}\right.$$

Nesse equação deve-se aplicar o logaritmo neperiano apenas à variável dependente.

Q425549

Aprendizado de Máquina

Padronização

$z={\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}$

Normalização

$n={\frac {x-xmin}{xmax-xmin}}$

Discretização

Manter no intervalo de 0 a 1.

Sigmóide ${\frac {1}{1+e^{-z}}}$.

Onde :

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$

Algoritmos e estruturas de dados

Grafos

• Número de Pares de Vértices não-Ordenados: $n\cdot (n-1) \over 2$.
• Grau de um vértice é o número de arestas que incidem no vértice.
• Nos dígrafos ou grafos direcionados, o grau se dá quanto ao número de entradas e o número de saídas.

Complexidade ciclomática

Complexidade = (A = 9, V = 8 e U = 1) = 3

$$C=A-V+U2\left\{{\begin{matrix}C&={\text{Complexidade}}\\A&={\text{Arestas}}\\V&={\text{Vértices}}\\U&={\text{Componentes/Utilizadores do grafo}}\end{matrix}}\right.$$

Ver também

• Dicas
• Matemática
• Questões de Estatística
• Português
• Informática
• Direito Penal
• Direito Processual Penal

Questões de Matemática

Regra de três

2014 Banca: NC-UFPR Órgão: TJ-PR Prova: NC-UFPR - 2014 - TJ-PR - Técnico Judiciário

Após viajar 300 km e chegar ao seu destino, um motorista percebeu que, se sua velocidade média na viagem tivesse sido 10 km/h superior, ele teria diminuído o tempo da viagem em 1 hora. Quanto tempo o motorista gastou na viagem?

$$\left\{{\begin{matrix}v&={300 \over t}\\v+10&={300 \over (t-1)}\end{matrix}}\right.$$

${\begin{aligned}{300 \over t}+10&={300 \over (t-1)}\\{300+10t \over t}&={300 \over (t-1)}\\300t-300+10t^{2}-10t&=300t\\10t^{2}-10t-300&=0\\t^{2}-t-30&=0\\{\text{Usando Soma e Produto (SP)}}\\m+n&=-b\\m*n&=c\\m+n&=1\\m*n&=-30\\6+(-5)&=1\\6*(-5)&=-30\\{\text{Descartanto o valor negativo, resposta em 6horas}}\end{aligned}}$

Progressões/sequências

2017 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: Técnico de Enfermagem do Trabalho Júnior

A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por $S_{n}={3^{n+4}-81 \over 2\times 3^{n}}$

Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica? $\color {green}{1}$

• O 1º termo é:

${\begin{aligned}S_{1}={3^{1+4}-81 \over 2\times 3^{1}}={3^{5}-81 \over 6}={243-81 \over 6}={162 \over 6}=\color {blue}{a_{1}=27}\\S_{2}={3^{2+4}-81 \over 2\times 3^{2}}={3^{6}-81 \over 18}={243*3-81 \over 18}={729 \over 18}\Rightarrow S_{2}=36\\a_{1}+a_{2}=36\\\\27+a_{2}=36\Rightarrow a_{2}=36-27=\color {blue}{a_{2}=9}\\{\color {blue}{q}}={a_{2} \over a_{1}}={9 \over 27}={\color {blue}{1 \over 3}}\end{aligned}}$

• O 4º termo é:

$a_{n}=a_{1}\times q^{n-1}$

${\begin{aligned}a_{4}=27\times ({\frac {1}{3}})^{4-1}\Rightarrow 27\times {\frac {1}{27}}=\color {green}{1}\end{aligned}}$

Combinatória

? Banca: ?: ?: ?

Quantos anagramas há na palavra CONCURSO iniciados por C ou terminados em O:

Resolução conceitual: 8 Letras, 2C, 2O. Então:

Iniciados por C e Não Terminados por O $\Rightarrow {\text{C}}$

Terminados por O e Não Iniciados por C

Iniciados por C e Terminados Por O

Matrizes

2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: Técnico de Administração e Controle Júnior

Sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que $det(A)\times det(B)=1$. O valor de $det(3A)\times det(2B)$ é:

Propriedade do determinante $det(a.M)=det(M)\times a^{n}$, onde $n$ é o tamanho da matriz.

${\begin{aligned}det(3A)\times det(2B)\\det(A)\times 3^{2}\times det(B)\times 2^{3}\\det(A)\times 9\times det(B)\times 8\\9\times 8\times [det(A)\times det(B)]=72\times 1=\color {green}{72}\end{aligned}}$

Sistemas Lineares

Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: Técnico de Administração e Controle Júnior

Sistemas lineares homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui infinitas soluções.

${\begin{aligned}x+y+z&=0\\x+\sigma y+z&=0\\\sigma x+\sigma y+2z&=0\end{aligned}}$

Qual o maior valor possível para $\sigma ?$

1º Passo encontrar o determinante, a partir da matrix:

${\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\sigma &1\\\sigma &\sigma &2\end{vmatrix}}\Rightarrow {\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\sigma &1\\\sigma &\sigma &2\end{vmatrix}}{\begin{matrix}1&1\\1&\sigma \\\sigma &\sigma \end{matrix}}$

${\begin{aligned}(2\sigma +\sigma +\sigma )-(\sigma ^{2}+\sigma +2)\\4\sigma -(\sigma ^{2}+\sigma +2)\\4\sigma -\sigma ^{2}-\sigma -2)\\-\sigma ^{2}+3\sigma -2\end{aligned}}$

Some e Produto ${\begin{aligned}x+y=-b\\x.y=c\end{aligned}}$

${\begin{aligned}1+2=3\\1.2=2\end{aligned}}$

Entre os valores ${x'=1,x''=2}$ o maior valor é 2, portanto, $\color {green}{Resposta=2.}$

• Q884207

Matemática financeira

Ano: 2011, Banca: CESPE, Órgão: BRB, Prova: Escriturário

Um estudo constatou que a população de uma comunidade é expressa pela função $P(t)=5.000\cdot e^{0,18t}$, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 1,8 como os valores aproximados para $e^{0,18}$ e ln 6, respectivamente, julgue os itens a seguir.

A população será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial.

• A pergunta é: a partir da fórmula dada o valor resultante de (t) será quanto?

${\begin{aligned}30.000&=5.000\cdot e^{0,18t}\\e^{0,18t}&={\frac {30.000}{5.000}}\\e^{0,18t}&=6\\log(e^{0,18t})&=log(6)_{\text{ /* ln = log natural ou simplesmente log */}}\\0,18t\cdot log(e)&=1,8_{\text{ /* ver Identidades Algébricas, e saiba que log(euler) = 1 */}}\\0,18t\cdot 1&=1,8\\0,18t&=1,8\\t&={\frac {1,8}{0,18}}\\t&=10\end{aligned}}$

${\text{Resposta errada: t = }}10>5$

Ano: 2014, Banca: CESPE, Órgão: Caixa, Prova: Técnico Bancário

Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.

Para adquirir um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Carlos dispõe das seguintes opções de pagamento:

opção A – pagamento à vista, com desconto de 3% do valor de tabela; ou

opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do bem, a primeira vencendo 1 mês após a compra. Para verificar qual dessas opções de pagamento seria financeiramente mais vantajosa para ele, Daniel utilizou 11,26 como valor aproximado para a expressão $\sum _{k=1}^{12}{\frac {1}{1,01^{k}}}$.

Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Daniel.

• A pergunta é: parcelado mantendo a aplicação (B) é o melhor do que pagar à vista com desconto (A)?

• Explicando a resolução: nessa questão seria inviável trazer cada uma das 12 parcelas para o valor presente, então, simplesmente é necessário usar o fator dado. Contudo, o fator não poderia ser aplicado ao investimento sem considerar as saídas de capital, portanto, a melhor estratégia de resolução é montar uma tabela e resolver as primeiras parcelas para avaliar as condições de cada forma de pagamento.

Para o exemplo vamos considerar $120 o valor do bem financiado.

${\begin{aligned}&_{\text{Fórmula do VPL}}\\VPL&=\sum _{n=1}^{n}{\frac {parcela}{(1+i)^{n}}}\\&_{\text{Expressão matemática resultante}}\\VPL&={\frac {10}{(1+i)^{1}}}+{\frac {10}{(1+i)^{2}}}+...+{\frac {10}{(1+i)^{12}}}\\&_{\text{Fator dado na questão}}\\\sum _{k=1}^{12}{\frac {1}{1,01^{k}}}&=11,26\\&_{\text{Colocando a parcela em evidência e usando o fator dado na questão}}\\VPL&=10\cdot (\sum _{k=1}^{12}{\frac {1}{1,01^{k}}}=11,26)\\&=10\cdot 11,26\\&=112,6\\\end{aligned}}$

${\text{Resposta: (B) 112,6 }}<{\text{120 * 0,97 = 116,4 (A)}}$

• Fontes: Youtube (Correção de Prova: CEF - Matemática Financeira - Edgar Abreu - A Casa do Concurseiro).

Ano: 2011, Banca: CESPE, Órgão: BRB, Prova: Escriturário

Uma agência bancária, ao emprestar a quantia de R$ 60.000,00 a uma empresa, entregou o valor no ato e concedeu à empresa 3 anos de carência, sem que os juros desse período ficassem capitalizados para serem pagos posteriormente. Com base nessa situação e sabendo que esse empréstimo será pago pelo sistema de amortização constante (SAC), em 3 anos e à taxa de juros de 10% ao ano, julgue os itens subsecutivos.

O total de juros pagos será superior a R$ 23.000,00.

• A pergunta é: nas condições da questão todos os juros pagos superam R$ 23.000,00?

• Explicando a resolução: quando há uma carência de pagamento da dívida, então, nesse período não há pagamento do valor princial, somente os juros são pagos, igualmente no sistema de amortização americano, onde os juros são pagos periodicamente e somente ao final do prazo acertado o valor principal é pago.

Período $n$	Saldo Devedor $PV$ $PV-A$	Parcela $pmt$	Juros $J$	Amortização(A) $pmt-J$
0	60.000,00
1	60.000,00		6.000,00
2	60.000,00		6.000,00
3	60.000,00		6.000,00
4	40.000,00	26.000,00	6.000,00	20.000,00
5	20.000,00	24.000,00	4.000,00	20.000,00
6	0	22.000,00	2.000,00	20.000,00
$\sum$			30.000,00	60.000,00

Ano: 2017, Banca: Quadrix, Órgão: Terra, Prova: Técnico Administrativo

Henrique e Jorge são fiscais de obra.

Henrique disse a Jorge: irei tranferir seis obras minhas para você, e você irá transferir uma sua para mim, assim você ficará com o dobro das obras que tenho.

Jorge disse a Henrique: irei tranferir sete obras minhas para você, e você irá transferir uma sua para mim, assim você ficará com o dobro das obras que tenho.

${\begin{aligned}{\text{Equação Henrique para Jorge (A): }}&(h-6+1)\cdot 2=j+6-1\\&(h-5)\cdot 2=j+5\\&2h-10=j+5\\&2h-j-15\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{Equação Jorge para Henrique (B): }}&(h+7-1)=(j-7+1)\cdot 2\\&(h+6)=(j-6)\cdot 2\\&h+6=2j-12\\&h-2j+18\end{aligned}}$

$${\begin{aligned}&2h-j-15{\text{ (A)}}\times (-2)\\&h-2j+18{\text{ (B)}}\\&-4h+2j+30{\text{ (A)}}\\&-3h+48\\&h={\frac {48}{3}}\\&h=16&\\&\\&{\text{usando h=16 na equação B, temos}}\\&\\&16-2j+18\\&34-2j\\&j={\frac {34}{2}}\\&j=17\end{aligned}}$$

Ano: 2011, Banca: CESPE, Órgão: BRB, Prova: Escriturário

Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de $1,02^{-1}$ e $1,02^{-2}$ , respectivamente, é correto afirmar que o valor presente líquido do referido projeto será superior a R$ 2.750,00.

• A pergunta é: o valor financiado de R$ 5.000,00, em relação aos retornos de capital, terá um VPL que supere 2.750,00?

${\begin{aligned}{\mbox{VPL}}>2.750\end{aligned}}$

• Explicando a resolução: notar que os fatores foram dados com expoentes negativos $(1+i)^{-n}$, portanto, em relação às descapitalizações o valor de cada retorno deverá ser multiplicado:

${\begin{aligned}VPL&=A-\sum _{t=1}^{n}N\cdot (1+i)^{-n}\\VPL&=5.000-(4.000\cdot 0,98+4.000\cdot 0,96)\\&=5.000-(3.920+3.840)\\&=2.760\\\\2.760&>2.750{\text{ (questão correta)}}\end{aligned}}$

Ano: 2013, Banca: CESGRANRIO, Órgão: LIQUIGÁS, Prova: Nível Médio

A variável $y$, quando escrita em função de uma variável x, é dada por $y=10^{(x+3)}-7$.

${\begin{aligned}10^{(x+3)}=y+7\\Log(10^{(x+3)})=Log(y+7)\\(x+3)\cdot Log(10)=Log(y+7)\\(x+3)\cdot 1=Log(y+7)\\x=\color {green}{Log(y+7)-3}\end{aligned}}$

Ano: 2014, Banca: CESGRANRIO, Órgão: Petrobras, Prova: Geofísico(a) Júnior - Geologia

Uma variável aleatória X de interesse assume apenas os valores 1, 2 e k.

Sabendo-se que P(X = 1) = 1/3 , P (X = 2 ) = 1/4 e que a média da variável aleatória é 5, o valor de k é dado por

Se P(1)=1/3 e P(2)=1/4, Logo P(K) = 1 - (P(X1) + P(X2))
Temos então: P(K) = 1 - (1/3 + 1/4), Fazendo MMC, P(K) = 1 - 7/12 = 5/12
Portanto P(1)+P(2)+P(K) = 4/12 + 3/12 + 5/12 = 12/12 = 1 (Todas as possibilidades)
Como a média da variável aleatória em todas as suas apariçoes é 5.
Somando todos os valores para a VA, multiplicados por suas respectivas probabilidades, temos: 4*(1)+3*(2)+5*(K) / 12 = 5
ou 1+1+1+1+2+2+2+K+K+K+K+K = 12*5 
5K = 60 - 10
5K = 50
K = 10

Funções

Definição de função: uma $f(x)=x^{2}$, ou seja, um $x$ passado para função $f$ retorna a sua expressão algébrica.

Função par

Uma função par é aquela cuja equivalência do resultado se mantém passando-se o parâmetro $x$ com o sinal invertido. Exemplo: $f(x)=f(-x){\text{se}}f(x)=x^{2}$.

Perceba que na expressão $x^{2}$ tanto passando-se o valor $2{\text{ ou }}-2$ o resultado será o mesmo porque qualquer número negativo ou positivo elevado a um expoente par resulta em um número positivo.

Ano: 2013 Banca: CESGRANRIO Órgão: Banco da Amazônia Prova: Técnico Bancário

• 

Sabe-se que x e y são números reais tais que $y=5^{3x}$. Conclui-se que x é igual a:

${\text{ Propriedades }}\Rightarrow Log_{10}(10)=1\Rightarrow Log_{b}(A)=C\Rightarrow Log(A)=b^{C}$

$5^{3x}=y\Rightarrow {\text{(Tal que: b = 5, c = 3x, a = y)}}\Rightarrow Log_{5}(y)=3x\Rightarrow Log_{b}(A)=C\Rightarrow Log(A)=b^{C}$

$Log_{5}(y)=3x\Rightarrow x={Log_{5}(y) \over 3}\Rightarrow {\frac {1}{3}}\cdot Log_{5}(y)\Rightarrow Log_{5}(y)^{\frac {1}{3}}\Rightarrow x=Log_{5}({\sqrt[{3}]{y^{1}}})$

• Q468695

Probabilidade

Ano: 2010 Banca: CESGRANRIO Órgão: Banco do Brasil Prova: Escriturário

Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é:

$1-{{{13+12+11-7-6-5} \over 5} \over {{18} \over {5}}}$

Distâncias Euclidianas

A distância euclidiana em duas dimensões.

Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

A distância euclidiana entre os pontos $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),$ num espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:

$${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.$$

Distância unidimensional

Para pontos unidimensionais, $P=(p_{x})$ e $Q=(q_{x}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.$$

O valor absoluto é usado já que a distância é normalmente considerada um valor escalar sem sinal.

Distância bidimensional

Para pontos bidimensionais, $P=(p_{x},p_{y})$ e $Q=(q_{x},q_{y}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.$$

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando $P=(r_{1},\theta _{1})$ e $Q=(r_{2},\theta _{2}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$$

Distância tridimensional

Para pontos tridimensionais, $P=(p_{x},p_{y},p_{z})$ e $Q=(q_{x},q_{y},q_{z}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.$$

Distância n-dimensional

Para pontos n-dimensionais, $P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),$ a distância é computada como:

$${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$$

TESTES

$C^{n}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)\Rightarrow {\frac {10}{2}}\cdot (10-1)=45$