Velocidade própria

Gráfico log-log de γ (azul), v/c (ciano) e η (amarelo) versus velocidade própria w/c (i.e. momento p/mc). Note-se que w/c é rastreado por v/c em baixas velocidades e por γ s velocidades. A curva vermelha tracejada é γ − 1 (energia cinética K/mc²), enquanto a curva magenta tracejada é o efeito Doppler relativístico.

Em relatividade, velocidade própria (também conhecida como celeridade) w de um objeto em relação a um observador é a razão entre o vetor deslocamento medida pelo observador ${\textbf {x}}$ e tempo próprio τ decorrido nos relógios do objeto viajante:

${\textbf {w}}={\frac {d{\textbf {x}}}{d\tau }}$

É uma alternativa à velocidade comum, a distância por unidade de tempo onde tanto a distância quanto o tempo são medidos pelo observador.

Os dois tipos de velocidade, normal e própria, são quase iguais em baixas velocidades. No entanto, em altas velocidades, a velocidade adequada retém muitas das propriedades que a velocidade perde na relatividade em comparação com teoria Newtoniana.

Por exemplo, a velocidade adequada é igual a momento por unidade de massa em qualquer velocidade e, portanto, não tem limite superior. Em altas velocidades, como mostrado na figura à direita, também é proporcional à energia de um objeto.

Velocidade própria w pode ser relacionado à velocidade ordinária v via o fator de Lorentz γ:

${\textbf {w}}={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\textbf {v}}\,\gamma (v)$

onde t é tempo de coordenada ou "mapa de tempo".

Para movimento unidirecional, cada um deles também está simplesmente relacionado ao ângulo de velocidade hiperbólica de um objeto em movimento ou rapidez η por

$\eta =\sinh ^{-1}{\frac {w}{c}}=\tanh ^{-1}{\frac {v}{c}}=\pm \cosh ^{-1}\gamma$.

Introdução

Em espaço-tempo plano, velocidade própria é a razão entre a distância percorrida em relação a um quadro de mapa de referência (usado para definir simultaneidade) e tempo próprio τ decorrido nos relógios do objeto viajante. É igual ao momento do objeto p dividido pela sua massa de repouso m, e é composto de componentes de velocidade quadrivetor semelhantes a espaço do objeto. A monografia de William Shurcliff mencionou seu uso inicial no texto de Sears e Brehme. Fraundorf tinha explorado seu uso pedagógico enquanto Ungar, Baylis e Hestenes examinaram sua relevância das perspectivas da teoria dos grupos e da álgebra geométrica. A velocidade adequada às vezes é chamada de celeridade.

Um cruzador sai do hiperespaço...

Ao contrário da mais familiar velocidade coordenada v, velocidade própria é livre de sincronia (não requer relógios sincronizados) e é útil para descrever movimentos superrelativísticos e sub-relativísticos. Assim como a velocidade coordenada e diferentemente da velocidade de quatro vetores, ela reside na fatia tridimensional do espaço-tempo definida pelo quadro do mapa. Conforme mostrado abaixo e na figura de exemplo à direita, as velocidades próprias até somam três vetores com o redimensionamento do componente fora do quadro. Isso os torna mais úteis para aplicativos baseados em mapas (e.g. engenharia) e menos úteis para obter informações sem coordenadas. Velocidade própria dividida pela velocidade da luz c é o seno hiperbólico da rapidez η, assim como o fator de Lorentz γ é o cosseno hiperbólico da rapidez e a velocidade coordenada v sobre a velocidade da luz é a tangente hiperbólica da rapidez.

Imagine um objeto viajando por uma região do espaço-tempo descrita localmente por equação métrica de espaço plano de Hermann Minkowski (cdτ)² = (cdt)² − (dx)². Aqui, um quadro de mapa de referência de parâmetros e relógios sincronizados define a posição do mapa x e mapa do tempo t respectivamente, e o d precedendo uma coordenada significa mudança infinitesimal. Um pouco de manipulação permite mostrar que a velocidade própria w = dx/dτ = γv onde, como de costume, a velocidade coordenada v = dx/dt. Assim, w finito garante que v é menor que a velocidade da luz c. Pelo agrupamento de γ com v na expressão para momento relativístico p, a velocidade própria também se estende a forma Newtoniana de momento como massa vezes velocidade para altas velocidades sem a necessidade de massa relativística.

Fórmula de adição de velocidade própria

A fórmula de adição de velocidade própria:

$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u}$

onde $\beta _{\mathbf {w} }$ é o fator beta dado por $\beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Esta fórmula fornece um modelo de espaço girovetorial de velocidade própria de geometria hiperbólica que usa um espaço inteiro em comparação com outros modelos de geometria hiperbólica que usam discos ou semiplanos.

No caso unidirecional isso se torna comutativo e simplifica para um produto de fator de Lorentz vezes uma soma de velocidade coordenada, e.g. para w_AC = γ_ABγ_BC(v_AB + v_BC).

Relação com outros parâmetros de velocidade

Tabela de velocidade

A tabela abaixo ilustra como a velocidade adequada de w = c ou "um mapa-ano-luz por viajante-ano" é uma referência natural para a transição do movimento sub-relativístico para o super-relativístico.

Comparação de valores de referência, vários próximos da mudança de inclinação relativística em EC vs. momento.

Condição/Parâmetro	Velocidade coordenada v dx/dt em unidades de c	Velocidade angular η em i-radianos	Velocidade própria w dx/dτ em unidades de c	Fator de Lorentz γ dt/dτ = E/mc2
Viajante parado no quadro de mapa ⇔ 1 mapa-ano/viajante-ano	0	0	0	1
Momento = 12mc ⇔ 0.5 mapa-ano-luz/viajante-ano	1/√5 ≅ 0.447	ln[(1 + √5)/2] ≅ 0.481	12	√5/2 ≅ 1.118
Rapidez de 0.5 radiano hiperbólico	(e − 1)/(e + 1) ≅ 0.462	12	12(√e − 1/√e) ≅ 0.521	12(√e + 1/√e) ≅ 1.128
Velocidade coordenada = 12c ⇔ 0.5 mapa-ano-luz/mapa-ano	12	12ln[3] ≅ 0.549	1/√3 ≅ 0.577	2/√3 ≅ 1.155
Momento = mc ⇔ 1 mapa-ano-luz/viajante-ano	1/√2 ≅ 0.707	ln[1 + √2] ≅ 0.881	1	√2 ≅ 1.414
Rapidez de 1 radiano hiperbólico	(e2 − 1)/(e2 + 1) ≅ 0.761	1	12(e − 1/e) ≅ 1.175	12(e + 1/e) ≅ 1.543
Energia cinética = mc2 ⇔ 2 mapas-anos/viajante-ano	√3/2 ≅ 0.866	ln[√3 + 2] ≅ 1.317	√3 ≅ 1.732	2
Momento = 2mc ⇔ 2 mapas-anos-luz/viajante-ano	2/√5 ≅ 0.894	ln[2 + √5] ≅ 1.444	2	√5 ≅ 2.236
Rapidez de 2 radianos hiperbólicos	(e4−1)/(e4+1) ≅ 0.964	2	12(e2 − 1/e2) ≅ 3.627	12(e2 + 1/e2) ≅ 3.762
Velocidade coordenada = c ⇔ 1 mapa-ano-luz/mapa-ano	1	∞	∞	∞

Observe-se acima que a velocidade angular η e velocidade própria w varia de 0 ao infinito e seguem a velocidade coordenada quando w << c. Por outro lado, quando w >> c, velocidade própria segue o fator de Lorentz enquanto a velocidade angular é logarítmica e, portanto, aumenta muito mais lentamente.

Equações de interconversão

As equações a seguir convertem entre quatro medidas alternativas de velocidade (ou velocidade unidirecional) que fluem da equação métrica do espaço plano de Minkowski:

$(c\delta \tau )^{2}=(c\delta t)^{2}-(\delta x)^{2}.\,$.

Fator de Lorentz γ: energia sobre mc² ≥ 1

$\gamma \equiv {\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+\left({\frac {w}{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\cosh(\eta )\equiv {\frac {e^{\eta }+e^{-\eta }}{2}}$

Velocidade própria w: momento por unidade de massa

${\frac {w}{c}}\equiv {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{d\tau }}={\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\sinh(\eta )\equiv {\frac {e^{\eta }-e^{-\eta }}{2}}=\pm {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}$

Velocidade coordenada: v ≤ c

${\frac {v}{c}}\equiv {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {w}{c}})^{2}}}}=\tanh(\eta )\equiv {\frac {e^{2\eta }-1}{e^{2\eta }+1}}=\pm {\sqrt {1-\left({\frac {1}{\gamma }}\right)^{2}}}$

Velocidade angular hiperbólica ou rapidez

$\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)$

ou em termos de logaritmos:

$\eta =\ln \left({\frac {w}{c}}+{\sqrt {\left({\frac {w}{c}}\right)^{2}+1}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}\right)=\pm \ln \left(\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\right)$.