Exponencial matricial

Em matemática, a exponencial matricial é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes à função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Lie das matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.

Seja $A\,$ uma matriz real ou complexa $n\times n\,$, define-se $e^{A}=\exp(A)\,$ pela seguinte série de potências:

$e^{A}:=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}\,$, onde $I\,$ é a matriz identidade

A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.

Propriedades

Sejam $A\,$ e $B\,$ matrizes quadradas $n\times n\,$ e $a\,$ e $b\,$ números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por $I\,$ a matriz identidade $n\times n\,$ e por $O\,$ a matriz nula de mesmas dimensões. $A^{*}\,$ indica a matriz transposta conjugada de $A\,$ e $A^{T}\,$ denota a matriz transposta de $A\,$. São válidas as seguintes propriedades:

• $e^{0}=I\,$
• $e^{aA}e^{bA}=e^{(a+b)A}\,$
• $e^{A}e^{-A}=I\,$
• Se $AB=BA\,$ então $e^{A}e^{B}=e^{A+B}\,$
• Se $B\,$ é uma matriz invertível então $e^{BAB^{-1}}=Be^{A}B^{-1}\,$
• $\det(e^{A})=e^{{\hbox{tr}}(A)}\,$, onde $\det(e^{A})\,$ é o determinante de $e^{A}\,$ e ${\hbox{tr}}A\,$ é o traço de $A\,$
• $e^{(A^{T})}={(e^{A})}^{T}\,$. Disto segue que se $A\,$ é uma matriz simétrica $e^{A}\,$ também o é. Se $A\,$ é uma matriz antissimétrica é uma matriz ortogonal.
• $e^{(A^{*})}={(e^{A})}^{*}\,$. Disto segue que se $A\,$ é uma matriz hermitiana $e^{A}\,$ também o é. Se $A\,$ é uma matriz anti-hermitiana é uma matriz unitária.

Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz

Imaginemos que queremos calcular $e^{A}$ sabendo que

$A={\begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}}$

Calculemos $A^{2},A^{3}...A^{n}$

$A^{2}={\begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&2\\0&0\end{bmatrix}},A^{3}=A^{2}A={\begin{bmatrix}8&4\\0&0\end{bmatrix}}$

$A^{n}={\begin{bmatrix}2^{n}&2^{n-1}\\0&0\end{bmatrix}},n\neq 0$

Sabemos então que

$e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$

$e^{A}=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\begin{bmatrix}2^{n}&2^{n-1}\\0&0\end{bmatrix}}=$

$=I+{\begin{bmatrix}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{n!}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}&{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}\\0&1\end{bmatrix}}$

$e^{A}={\begin{bmatrix}e^{2}&{\frac {1}{2}}(e^{2}-1)\\0&1\end{bmatrix}}$

Equações diferenciais ordinárias lineares

Um problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial:

$\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)\\y(t_{o})=y_{o}\end{array}}\right.\,$

onde a incógnita $y(t)\,$ é um vetor de dimensão $n\,$ que depende do tempo, $y_{0}\,$ é a condição inicial e $A\,$ é uma matriz $n\times n\,$. A solução deste sistema é dada por:

$y(t)=e^{A(t-t_{0})}y_{0}\,$

A matriz $E(s)\,$ definida como $e^{sA}\,$ pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial $y_{0}\,$ à solução do sistema de equações no instante $t_{0}+s\,$.

A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado

$\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+f(t)\\y(t_{o})=y_{o}\end{array}}\right.\,$

pelo Método da variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma:

$y(t)=e^{A(t-t_{0})}z(t)\,$

Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos:

$Ae^{A(t-t_{0})}z(t)+e^{A(t-t_{0})}{\frac {d}{dt}}z(t)=Ae^{A(t-t_{0})}z(t)+f(t)\,$

ou, resolvendo para $z(t)\,$:

${\frac {d}{dt}}z(t)=e^{-A(t-t_{0})}f(t)\,$

trocando $t\,$ por $s\,$ e integrando em $[t_{0},t]\,$, temos:

$z(t)=z(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{-A(s-t_{0})}f(s)ds\,$

e, finalmente:

$y(t)=e^{A(t-t_{0})}y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-s)}f(s)ds\,$