Matriz flecha

Na álgebra linear, uma matriz flecha ou matriz ponta de flecha é uma matriz quadrada que contém zeros em todas as entradas, exceto na primeira linha, primeira coluna e diagonal principal, essas entradas podem ser qualquer número. Em outras palavras, a matriz tem a forma

$A={\begin{bmatrix}\,\!*&*&*&*&*\\\,\!*&*&0&0&0\\\,\!*&0&*&0&0\\\,\!*&0&0&*&0\\\,\!*&0&0&0&*\end{bmatrix}}.$

Qualquer permutação simétrica da matriz ponta de flecha, $P^{T}AP$, onde $P$ é uma matriz de permutação, é uma matriz ponta de flecha (permutada). Matrizes ponta de flecha reais simétricas são usadas em alguns algoritmos para encontrar autovalores e autovetores.

Matrizes flecha reais simétricas

Seja $A$ uma matriz ponta de flecha real simétrica (permutada) da forma

$A=\left[{\begin{array}{cc}D&z\\z^{T}&\alpha \end{array}}\right],$

onde $D=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n-1})$ é a matriz diagonal de ordem n-1,

$z={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T}$ é um vetor e $\alpha$ é um escalar. Seja

$A=V\Lambda V^{T}$

a decomposição de autovalores de $A$, onde $\Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$

é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores de $A$, e $V={\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}$

é uma matriz ortonormal cujas colunas são os autovetores correspondentes. O seguinte é válido:

• Se $\zeta _{i}=0$ para algum $i$, então o par $(d_{i},e_{i})$, onde $e_{i}$ é o i-ésimo vetor de base canônica, é um par próprio de $A$. Assim, todas essas linhas e colunas podem ser excluídas, deixando a matriz com todos $\zeta _{i}\neq 0$.
• O teorema do entrelaçamento de Cauchy implica que os autovalores classificados de $A$ entrelaçam os elementos classificados $d_{i}$: se $d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{n-1}$ (isso pode ser alcançado por permutação simétrica de linhas e colunas sem perda de generalidade), e se os $\lambda _{i}$s são classificados de acordo, então $\lambda _{1}\geq d_{1}\geq \lambda _{2}\geq d_{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}\geq d_{n-1}\geq \lambda _{n}$.
• Se $d_{i}=d_{j}$, para algum $i\neq j$, a desigualdade acima implica que $d_{i}$ é um valor próprio de $A$. O tamanho do problema pode ser reduzido pela aniquilação de $\zeta _{j}$ com uma rotação de Givens no plano-$(i,j)$ e procedendo como acima.

Matrizes pontas de flecha simétricas surgem em descrições de transições sem radiação em moléculas isoladas e osciladores vibracionalmente acoplados a um líquido de Fermi.

Autovalores e autovetores

Uma matriz ponta de flecha simétrica é irredutível se $\zeta _{i}\neq 0$ para todo $i$ e $d_{i}\neq d_{j}$ para todo $i\neq j$. Os valores próprios de uma matriz ponta de flecha real simétrica irredutível são os zeros da equação secular

$f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0$

que pode ser, por exemplo, calculado pelo método da bisseção. Os autovetores correspondentes são iguais a

$v_{i}={\frac {x_{i}}{\|x_{i}\|_{2}}},\quad x_{i}={\begin{bmatrix}\left(D-\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,n.$

A aplicação direta da fórmula acima pode produzir autovetores que não são numericamente suficientemente ortogonais. O algoritmo progressivo estável que calcula cada autovalor e cada componente do autovetor correspondente com precisão quase total está descrito. A versão Julia do software está disponível.

Inversas

Seja $A$ uma matriz irredutível ponta de flecha simétrica real. E se $d_{i}=0$ para algum $i$, a inversa é uma matriz ponta de seta simétrica real irredutível permutada:

$A^{-1}={\begin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^{-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmatrix}}$

onde

${\begin{alignedat}{2}D_{1}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{i-1}),\\D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},\ldots ,d_{n-1}),\\z_{1}&={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&={\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\right).\end{alignedat}}$

Se $d_{i}\neq 0$ para todo $i$, a inversa é uma modificação de posto-um de uma matriz diagonal (diagonal-mais-posto-um ou DMP1):

$A^{-1}={\begin{bmatrix}D^{-1}&\\&0\end{bmatrix}}+\rho uu^{T},$

onde

$u={\begin{bmatrix}D^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad \rho ={\frac {1}{\alpha -z^{T}D^{-1}z}}.$