Usuário(a):Isaias José Amaral Soares/Biquaterniões

Na álgebra abstrata, os biquatérnios são uma generalização dos números hipercomplexos e dos quatérnios (ou quaterniões). São números da forma w + x i + y j + z k, onde w, x, y e z são números complexos, ou suas variantes, e os elementos de {1, i, j, k} multiplicar como no grupo quatérnio e comutam com seus coeficientes. Existem três tipos de biquatérnios correspondentes a números complexos e suas variações:

• Biquatérnios é quando os coeficientes são números complexos .
• Biquatérnios divididos é quando os coeficientes são números complexos divididos .
• Quatérnios duais é quando os coeficientes são números duais .

Aqui abordamos os biquatérnios comuns desenvolvidos por William Rowan Hamilton em 1844 (ver Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 & 1850 página 388 ). Dentre os mais proeminentes propositores dos biquatérnios estão Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein e Cornelius Lanczos . Conforme veremos, a quase-esfera unitária dos biquatérnios dá uma representação do grupo de Lorentz, que é a base da Teoria da relatividade especial.

Uma das formas de se encarar a álgebra dos biquatérnios é como um produto tensorial $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ (tomado sobre o conjunto dos números reais), no qual C ou $\mathbb {C}$ é o corpo dos números complexos e H ou $\mathbb {H}$ é a álgebra de divisão dos quatérnios (reais). Ou seja, os biquatérnios são meramente a complexificação dos quatérnios. Do ponto de vista de uma álgebra complexa, os biquatérnios são isomórficos à álgebra 2 × 2 de matrizes complexas M₂(C). Eles ainda são isomórficos a várias álgebras de Clifford, incluindo H(C) = Cℓ⁰₃(C) = Cℓ₂(C) = Cℓ_1,2(R), a álgebra de Pauli Cℓ_3,0(R), e a parte par Cℓ⁰_1,3(R) = Cℓ⁰_3,1(R) da álgebra do espaço-tempo .

Definição

Para essa definição, consideremos o conjunto {1, i, j, k} como sendo a base para o os quatérnios (reais) H, e u, v, w, x números complexos. Então

$q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k}$

é um biquatérnio. A fim de diferenciar as raízes quadradas de -1 nos biquatérnios, Hamilton e Conway decidiram representar a raiz quadrada de -1 no campo escalar C como h, para evitar a confusão com o i no grupo dos quatérnios. A comutatividade do campo escalar com o grupo dos quatérnios é dada por:

$h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.$

Hamilton cunhou os termos bivetor, biconjugado, bitensor e biversor para ampliar as noções usadas nos quatérnios reais H

A primeira apresentação de Hamilton sobre os biquatérnios foi em 1853, em suas Palestras sobre Quatérnios. As edições de seus trabalhos Elements of Quaternions, em 1866 por William Edwin Hamilton (filho de Rowan), e em 1899, 1901 por Charles Jasper Joly, reduziram a cobertura dos biquatérnios para ampliar a explicação dos quatérnios reais.

Os biquatérnios formam uma álgebra 4-dimensional sobre os números complexos C, se considerarmos as operações de adição componente a componente e a multiplicação. A álgebra dos biquatérnios é associativa, mas não é comutativa. Um biquatérnio é, ou uma unidade ou um divisor de zero. A álgebra dos biquatérnios forma uma álgebra de composição e pode ser criada a partir dos números bicomplexos . Veja § As a composition algebra abaixo.

Lugar na teoria do anel

Representação linear

Observe o produto matricial

${\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}$ .

Pelo fato de h ser a unidade imaginária, cada uma dessas três matrizes tem um quadrado igual ao negativo da matriz identidade. Quando este produto matricial é visto como ij = k, obtém-se um subgrupo de matrizes que é isomórfico ao grupo quatérnio. Desse modo,

${\begin{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{pmatrix}}$

representa o biquatérnio q = u 1 + v i + w j + x k. Dada uma qualquer matriz complexa 2 × 2, há valores complexos u, v, w e x que podem colocá-la nesta forma de maneira que o anel matricial M(2,C) seja isomórfico ao anel dos biquatérnios.

Subálgebras

Considerando a álgebra dos biquatérnios sobre o campo escalar dos números reais R, o conjunto

$\{\mathbf {1} ,h,\mathbf {i} ,h\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,h\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,h\mathbf {k} \}$

constitui-se uma base para que a álgebra tenha oito dimensões reais. Os quadrados dos elementos hi, hj e hk são todos +1, por exemplo, (hi)² = h²i² = (−1)(−1) = +1 .

A subálgebra dada por

$\{x+y(h\mathbf {i} ):x,y\in \mathbb {R} \}$

é um anel isomórfico ao plano dos números complexos divididos, que tem sua estrutura algébrica construída sobre a hipérbole unitária . Os elementos hj e hk também determinam tais subálgebras.

Além disso,

$\{x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \}$

é uma subálgebra isomórfica aos tessarinos, (também chamados de números bicomplexos).

Uma terceira subálgebra chamada coquatérnios (ou Split-quaternions) é gerada por hj e hk . Vê-se que (hj)(hk) = (−1)i, e que o quadrado deste elemento é −1. Esses elementos geram o grupo diedral do quadrado. O subespaço linear com base {1, i, hj, hk} é fechado sob multiplicação e forma a álgebra dos coquatérnios.

No contexto da mecânica quântica e da álgebra espinor, os biquatérnios hi, hj e hk (ou seus negativos), vistos na representação M₂(C), são denominados de matrizes de Pauli.

Propriedades algébricas

Os biquatérnios têm duas conjugações :

• o biconjugado ou bivetor biescalar negativo é $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ e
• a conjugação complexa dos coeficientes dos biquatérnios $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k}$

nos quais $z^{\star }=a-bh$ quando $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$

Note que $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.$

Claramente, se $qq^{*}=0$ então q é um divisor de zero. De outra forma $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ é definido sobre os números complexos. Além disso, $qq^{*}=q^{*}q$ é facilmente verificado. Isso permite com que um inverso seja definido por

• $q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$, se $qq^{*}\neq 0.$

Relação com as transformações de Lorentz

Mais informações: History of Lorentz transformations § Lorentz transformation via quaternions and hyperbolic numbers, e History of Lorentz transformations § Noether

Considere agora o subespaço linear

$M=\lbrace q\colon q^{*}=q^{\star }\rbrace =\lbrace t+x(h\mathbf {i} )+y(h\mathbf {j} )+z(h\mathbf {k} )\colon t,x,y,z\in \mathbb {R} \rbrace .$

M não é uma subalgebra, uma vez que não é fechada sob o produto. Por exemplo, $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$. Portanto, M não pode formar uma álgebra se nem mesmo é um magma.

Proposição: Se q está em M, então $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Prova: Pelas definições,

${\begin{aligned}qq^{*}&=(t+xh\mathbf {i} +yh\mathbf {j} +zh\mathbf {k} )(t-xh\mathbf {i} -yh\mathbf {j} -zh\mathbf {k} )\\&=t^{2}-x^{2}(h\mathbf {i} )^{2}-y^{2}(h\mathbf {j} )^{2}-z^{2}(h\mathbf {k} )^{2}\\&=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.\end{aligned}}$

Definição: Seja o biquatérnio g satisfazendo $gg^{*}=\mathbf {1} .$ Então a transformação de Lorentz associada a g é dada por

$T(q)=g^{*}qg^{\star }.$

Proposição: Se q está em M, então T(q) também está em M.

Prova: $(g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.$

Proposição: $\quad T(q)(T(q))^{*}=qq^{*}$

Prova: Note que gg* = 1 significa que a soma dos quadrados de seus quatro componentes complexos é 1. Assim, a soma dos quadrados dos conjugados complexos dessas componentes também é 1. Logo, $g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .$ Então,

$(g^{*}qg^{\star })(g^{*}qg^{\star })^{*}=g^{*}qg^{\star }(g^{\star })^{*}q^{*}g=g^{*}qq^{*}g=qq^{*}.$

Terminologia associada

Como os biquatérnios têm sido uma fixação da álgebra linear desde o início da física matemática, há uma série de conceitos que são ilustrados ou representados pela álgebra dos biquatérnios. O grupo de transformação $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ tem duas partes, $G\cap H$ e $G\cap M.$ A primeira parte é caracterizada por $g=g^{\star }$; então a transformação de Lorentz correspondente a g é dada por $T(q)=g^{-1}qg$ desde $g^{*}=g^{-1}.$ Tal transformação é uma rotação por multiplicação de quatérnios, e o conjunto deles é SO(3) $\cong G\cap H.$ Mas este subgrupo de G não é um subgrupo normal, então nenhum grupo quociente pode ser formado.

Para ver $G\cap M$ é necessário mostrar alguma estrutura de subálgebra nos biquatérnios. Seja r um elemento da esfera de raízes quadradas de menos um na subálgebra do quatérnio real H . Então (hr)² = +1 e o plano de biquatérnios dado por $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ é uma subálgebra comutativa isomórfica ao plano dos números complexos divididos . Do mesmo modo como o plano complexo ordinário tem um círculo unitário, $D_{r}$ tem uma hipérbole unitária dada por

$\exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.$

E, do mesmo modo como o círculo unitário gira por multiplicação através de um de seus elementos, a hipérbole gira porque $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ Desse modo, esses operadores algébricos na hipérbole são chamados de versores hiperbólicos . O círculo unitário em C e a hipérbole unitária em D_r são exemplos de grupos de um parâmetro . Para cada raiz quadrada r de -1 em H, existe um grupo de um parâmetro nos biquatérnios dados por $G\cap D_{r}.$

O espaço dos biquatérnios tem uma topologia natural pela métrica euclidiana no espaço 8. Com respeito a esta topologia, G é um grupo topológico. Além disso, possui estrutura analítica tornando-o um grupo de Lie de seis parâmetros. Considere o subespaço dos bivetores $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$ . Então, o mapa exponencial $\exp :A\to G$ leva os vetores reais para $G\cap H$ e os h -vetores para $G\cap M.$ Quando equipado com o comutador, A forma a álgebra de Lie de G Assim, este estudo de um espaço hexadimensional serve para introduzir os conceitos gerais da teoria de Lie. Quando visualizado na representação matricial, G é chamado de grupo linear especial SL(2,C) em M₂(C) .

Muitos dos conceitos da relatividade especial são ilustrados através das estruturas dessas biquatérnios. O subespaço M corresponde ao espaço de Minkowski, com as quatro coordenadas dando as localizações no tempo e no espaço dos eventos em um referencial em repouso. Qualquer versor hiperbólico exp(ahr) corresponde a uma velocidade na direção r de velocidade c tanh a onde c é a velocidade da luz . O referencial inercial desta velocidade pode se tornar o referencial de repouso aplicando o impulso de Lorentz T dado por g = exp(0.5ahr) desde então $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ para que $T(\exp(ahr))=1.$ Naturalmente, o hiperbolóide $G\cap M,$ que representa a gama de velocidades para o movimento subluminal, é de interesse físico. Tem havido um trabalho considerável associando este "espaço de velocidade" com o modelo hiperbolóide da geometria hiperbólica. Na relatividade especial, o parâmetro do ângulo hiperbólico de um versor hiperbólico é chamado de rapidez. Assim, verifica-se que o grupo biquatérnio G proporciona uma representação de grupo para o grupo de Lorentz.

Após a introdução da teoria de spinor, particularmente nas mãos de Wolfgang Pauli e Élie Cartan, a representação biquatérnia do grupo de Lorentz foi substituída. Os novos métodos originaram os vetores de base no conjunto

$\{q\ :\ qq^{*}=0\}=\left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \ :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}$

que é chamado de cone de luz complexo. A representação acima do grupo de Lorentz coincide com o que os físicos chamam de quatro vetores. Além dos quatro vetores, o modelo padrão da física de partículas também inclui outras representações de Lorentz, conhecidas como escalares, e a representação (1, 0) ⊕ (0, 1) associada, por exemplo, ao tensor do campo eletromagnético . Além disso, a física de partículas usa as representações SL(2, C) (ou representações projetivas do grupo de Lorentz) conhecidas como espinores de Weyl canhotos e destros, espinores de Majorana e espinores de Dirac . Sabe-se que cada uma dessas sete representações pode ser construída como subespaços invariantes dentro dos biquatérnios.

Como uma álgebra de composição

Embora W. R. Hamilton tenha introduzido os biquatérnios no século XIX, no delineamento de sua estrutura matemática como um tipo especial de álgebra sobre um corpo, foi entendido no século XX: os biquatérnios podem ser gerados a partir dos números bicomplexos (também chamados de tessarinos) da mesma forma que Adrian Albert gerou os quatérnios reais a partir de números complexos na assim chamada construção de Cayley-Dickson. Nesta construção, um número bicomplexo ( w,z ) tem conjugado ( w,z )* = ( w, – z ).

O biquatérnio é então um par de números bicomplexos (a,b), no qual o produto com um segundo biquatérnio (c, d) é dado por

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).$

Se $a=(u,v),b=(w,z),$ logo, o biconjugado $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$

Quando (a,b)* é escrito como um vetor 4 de números complexos ordinários,

$(u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).$

Os biquatérnios formam um exemplo de álgebra de quatérnio, e eles têm a norma

$N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.$

Dois biquatérnios p e q satisfazem $N(pq)=N(p)N(q)$ indicando que N é uma forma quadrática admitindo composição, de forma que os biquatérnios formam uma álgebra de composição .

Veja também

• Álgebra dos biquatérnios
• Número hipercomplexo
• Joachim Lambek
• Uso de MacFarlane
• Anel quociente

Referências

• Arthur Buchheim (1885) "A Memoir on biquaternions", American Journal of Mathematics 7(4):293 a 326 do Jstor early content.
• Conway, Arthur W. (1911), «On the application of quaternions to some recent developments in electrical theory», Proceedings of the Royal Irish Academy, 29A: 1–9 .
• William Edwin Hamilton (editor) (1866) Elements of Quaternions, University of Dublin Press
• Charles Jasper Joly (editor) (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II, Longmans, Green & Co.
• Kravchenko, Vladislav (2003), Análise Quaterniônica Aplicada, Heldermann VerlagISBN 3-88538-228-8 .
• Silberstein, Ludwik (1912), «Quaternionic form of relativity», Philosophical Magazine, Series 6, 23 (137): 790–809, doi:10.1080/14786440508637276 .
• Silberstein, Ludwik (1914), The Theory of Relativity .
• Synge, J. L. (1972), «Quaternions, Lorentz transformations, and the Conway-Dirac-Eddington matrices», Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies, Series A, 21 

• Girard, P. R. (1984), «The quaternion group and modern physics», European Journal of Physics, 5 (1): 25–32, Bibcode:1984EJPh....5...25G, doi:10.1088/0143-0807/5/1/007 .
• Kilmister, C. W. (1994), Eddington's search for a fundamental theory, ISBN 978-0-521-37165-0, Cambridge University Press, pp. 121, 122, 179, 180 .
• 978-0-521-37165-0 Sangwine, Stephen J.; Ell, Todd A.; Le Bihan, Nicolas (2010), «Fundamental representations and algebraic properties of biquaternions or complexified quaternions», Advances in Applied Clifford Algebras, 21 (3): 1–30, arXiv:1001.0240, doi:10.1007/s00006-010-0263-3 .
• Sangwine, Stephen J.; Alfsmann, Daniel (2010), «Determination of the biquaternion divisors of zero, including idempotents and nilpotents», Advances in Applied Clifford Algebras, 20 (2): 401–410, Bibcode:2008arXiv0812.1102S, arXiv:0812.1102, doi:10.1007/s00006-010-0202-3 .
• Tanişli, M. (2006), «Gauge transformation and electromagnetism with biquaternions», Europhysics Letters, 74 (4): 569, Bibcode:2006EL.....74..569T, doi:10.1209/epl/i2005-10571-6 .

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