Álgebra de Lie

Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
Grupos clássicos Linear geral GL(n) Linear especial SL(n) Ortogonal O(n) Ortogonal especial SO(n) Unitário U(n) Especial unitário SU(n) Simplético Sp(n)
Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie

Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930.

Definição e primeiras propriedades

Uma álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ é um tipo de álgebra sobre um corpo; é um espaço vetorial sobre um corpo F juntamente com uma operação binária ($[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$, chamada de comutador, ou colchete de Lie), que satisfaz os seguintes axiomas:

• Bilinearidade:

  $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

  para todos escalares $a$, $b$ em F e todos elementos $x$, $y$, $z$ em ${\mathfrak {g}}.$

• Anticomutatividade:

  $[x,y]=-[y,x]\,$

  para todos elementos $x$, $y$ em ${\mathfrak {g}}.$ Quando F for um corpo de característica dois, deve-se impor a condição mais forte

  $[x,x]=0$

  para todo x em ${\mathfrak {g}}.$

• A identidade de Jacobi:

  $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad$

  para todos $x$, $y$, $z$ em ${\mathfrak {g}}.$

Para qualquer álgebra associativa A com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie L(A). Como espaço vetorial, L(A) coincide com A. O colchete de Lie de L(A) é definido como sendo o seu comutador em A:

$[a,b]=a*b-b*a.$

A associatividade da multiplicação * em A implica a identidade de Jacobi para o comutador em L (A). Em particular, a álgebra associativa das matrizes n' × n sobre um corpo F dá origem ao grupo linear geral ${\mathfrak {gl}}_{n}(F).$ A álgebra associativa A é chamada de uma álgebra envolvente da álgebra de Lie L (A).

É sabido que cada álgebra de Lie pode ser mergulhada em uma álgebra que é definida, desta forma, a partir de uma álgebra associativa.

Exemplos

• Qualquer espaço vetorial V dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de abelianas. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela antisimetria do colchete de Lie.
• O espaço euclidiano tridimensional R³ munido do colchete de Lie dado pelo produto vetorial de espaços vetoriais é uma álgebra de Lie tridimensional.
• A álgebra de Heisenberg é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores x,y,z, cujas relações de comutação são da forma

$[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0.\,$

• Qualquer grupo de Lie G define uma álgebra de Lie associada ${\mathfrak {g}}=Lie(G).$

A definição geral é técnica, mas no caso dos grupos clássicos de matrizes reais, ela pode ser formulada via a aplicação exponencial. A álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ consiste das matrizes X da forma ::$\exp(tX)\in G\,$ : para todos t's reais. A álgebra de Lie de ${\mathfrak {g}}$ é dada pelo comutador de tais matrizes. Como um exemplo concreto, considere o grupo linear especial SL(n,R), consistindo das matrizes n × n com entradas reais e determinante 1. Este um grupo clássico, e a sua álgebra de Lie tem como elementos todas as matrizes n × n reais e com Traço zero.

Relação com grupos de Lie

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é utilizada de diversas maneiras, incluindo-se na elaboração da lista dos grupos de Lie simples e na teoria da representação dos grupos de Lie. Toda representação de uma álgebra de Lie é levantada de forma única para uma representação do grupo de Lie conexo e simplesmente conexo correspondente. De forma recíproca, toda representação de um grupo de Lie induz uma representação da sua álgebra de Lie; suas representações estão biunivocamente correspondidas.

Referências

• San Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Killing.html
• (2010) Videoaulas sobre Álgebra de Lie Videoteca do Instituto de Física da USP, professor Roldão da Rocha Jr.