Problema de matemática em aberto:
A desigualdade
![{\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e214614c0c84847d35ab0891ea9bdd77c1c70d9c)
é válida
, onde
é o n-ésimo número primo?
(a) A função
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
para os primeiros 100 primos.
(b) A função
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
para os primeiros 200 primos.
(c) A função
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
para os primeiros 500 primos.
Provas gráficas da Conjectura de Andrica para
(a)100,
(b)200 e
(c)500 números primos. A função
![{\displaystyle A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2)
é sempre menor que 1.
A Conjectura de Andrica é um dos problemas não resolvidos da matemática, sendo relacionada com a distribuição dos números primos e a distância entre dois primos consecutivos.
Seu nome é homenagem ao matemático Dorin Andrica.[1]
A conjectura afirma que a desigualdade
![{\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e214614c0c84847d35ab0891ea9bdd77c1c70d9c)
é válida
(para todo n), onde
representa o n-ésimo número primo. Se
denota a n-ésima diferença entre dois primos, a conjectura de Andrica pode ser reescrita como
![{\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0477efe001a62ab13b810f93dce808fe51502dc2)
Imran Ghory usou os dados sobre as maiores diferenças entre dois primos consecutivos para confirmar a veracidade da conjectura para
maior que 1,3002 × 1016.[2] Usando tabelas maiores, a confirmação dos valores foi estendida exaustivamente para 4 × 1018.
A função discreta
e seus gráficos são mostrados ao lado. Os maiores valores de
ocorrem para n = 1, 2, and 4, com A4 ≈ 0.670873..., sem valores maiores para os próximos 105 primeiros primos. Como a função de Andrica decresce assintoticamente conforme n aumenta, , uma diferença entre primos precisa fazer o valor da diferença ser maior conforme n se torna maior. Isso indica fortemente que a conjectura é verdadeira, ainda que ainda não tenha sido provada nem refutada.
Uma generalização da conjectura de Andrica pode ser feita levando em conta a seguinte equação:
![{\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d581f722bd514d1881bbbb3185d50ffa5eaccf)
onde
é on-ésimo número primo e x pode ser qualque número positivo.
A maior solução para o possível valor de x é fácil de ocorrer para
, quando xmax = 1. Se conjectura que a menor solução x é xmin ≈ 0.567148... (sequência A038458 na OEIS) que ocorre para n = 30.
Essa conjectura também pode ser apresentada como uma desigualdade, a conjectura de Andrica generalizada:
for ![{\displaystyle x<x_{\min }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3518f5389a5b3937468169803a17281bd4eddc7)
A conjectura ainda não foi provada nem refutada, apesar de haver fortes indícios de que esta seja verdadeira.[3]
Referências
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Por fórmula |
- Fermat
![{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93eb116c31324099b69d936d520e6ef3fcda921d)
- Mersenne
![{\displaystyle (2^{p}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e3ddbb373726b17a26e34126deb55b166ff87)
- Duplo de Mersenne
![{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1835aef839f9ef44f748cf67674c0a166bdbfd71)
- Wagstaff
![{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b13cbecae516f39a0998209d053c401033088d)
- Proth
![{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a850b678bdf0a7ceb6c90577df3495fc1de474)
- Factorial
![{\displaystyle (n!\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4d60dd075b15589cb182b42f152d2e587065d)
- Primorial
![{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1df4e8d29b9b8264895c9151398c1d001b89ad)
- Euclides
![{\displaystyle (p_{n}\#+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de51224ceb61b6f827fb670418610979303be5d)
- Pitagórico
![{\displaystyle (4n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d18b0f0a91a43ccc00ddfa91b35eed27fec64c1)
- Pierpont
![{\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854cb663ae04c0df2df501c45d7530801b114af3)
- Solinas
![{\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f809f55e5abbe8d8b94dbb73ba1670a639935b0e)
- Cullen
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e9e6b97738ef48e8096a5942bce7ced58b3a49)
- Woodall
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9e31860bad845dd75f9cf41cf058cdb88b5cc)
- Cubano
![{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2e1aac9d468b948ad331e322f944695e3f0d28)
- Carol
![{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ec427e1adf93b03b27ab1550bf348a593ac8b4)
- Kynea
![{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d38f86286d8b9c9dc6ceb821972d02d1c4e91a)
- Leyland
![{\displaystyle (x^{y}+y^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d67405b47972b5c1d3c5befde643e0ddf53563e)
- Thabit
![{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4459f9d79b1127316dc202da3465bbf76b67d36f)
- Mills (chão
)
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Por sequência de inteiros | |
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Por propriedade | |
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Dependentes de bases | |
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Padrões |
- Gémeos
![{\displaystyle (p,p+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e1ec03d48e4042e402393086457ebfec09afc4)
- Tripla
![{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4627bdddefde6d58ea32e73a6b47e22f3ef57522)
- Quádrupla
![{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e6d4d2753696bd3114c75a4a70f3985cdcafe1)
- Tuplo
- Primos primos
![{\displaystyle (p,p+4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9ff8c80c8d3af43a6529aee1c3844a26bfe26c)
- Sexy
![{\displaystyle (p,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605f75125b6e36d8b882393e85225236b1a7171a)
- Chen
- Sophie Germain
![{\displaystyle (p,2p+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563a6a04da136c0b990202365d35e21337936490)
- Cadeia de Cunningham
![{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db06a6b86bc0a433c31df298769dbddd3b31a1ba)
- Seguro
![{\displaystyle (p,{\frac {(p-1)}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c1bbe273d7e6db1a2054eba84dc790cd07ad30)
- Progressão aritmética
![{\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd39ae6bb92fd213322a52fa76afde457fd06fd9)
- Equilibrado (consecutivos
![{\displaystyle p-n,p,p+n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552e9db33203a780ff20262082dcefacf132099)
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Por dimensão | |
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Números compostos | |
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Tópicos relacionados | |
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Conjecturas sobre números primos |
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