Problemas de Landau

Os Problemas de Landau são quatro conhecidos problemas sobre os números primos, que Edmund Landau catalogou como "inatacáveis no estado atual da ciência" durante o Congresso Internacional de Matemáticos de 1912.

Os quatro problemas são os seguintes:

• A conjectura de Goldbach: Todo número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos ?
• A conjectura dos números primos gêmeos: Há infinitos números primos p tais que (p+2) também é um número primo ?
• A conjectura de Legendre: Sempre existe um número primo entre dois quadrados perfeitos ?
• A conjectura de que há infinitos números primos p tais que (p-1) é um quadrado perfeito. Dizendo de outra forma, há infinitos números primos da forma $n^{2}+1$ ?

Progresso

Conjectura de Goldbach

O Teorema de Vinográdov demostra a conjectura fraca de Goldbach para os n suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à hipótese generalizada de Riemann.Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo n fora do intervalo $(10^{20},e^{3100})$

O teorema de Chen demostra que para todos os n suficientemente grandes, $2n=p+q$ onde p é primo e q é primo ou semiprimo. Montgomery e Vaughan demostraram que o conjunto excepcional dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem densidade zero.

Conjectura dos primos gêmeos

Goldston, Pintz e Yıldırım demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:

$\liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$

Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobreconjetura de Elliott-Halberstam, uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos p tais que $\pi (p+20)-\pi (p)\geq 1$. Onde $\pi (x)$ é a função de contagem de números primos. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.

Chen demonstrou que existem infinitos primos p ( que posteriormente ficaram conhecidos como primos de Chen ) tais que p + 2 é primo ou semiprimo.

Conjectura de Legendre

É suficiente mostrar que cada número primo p, a diferença com o próximo primo é menor que $2{\sqrt {p}}$. Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10¹⁸. Um contra exemplo próximo a 10¹⁸ requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.

Um resultado de Ingham mostra que existe um número primo entre $n^{3}$ e $(n+1)^{3}$ para cada n suficientemente grande..

Primos da forma n^2+1 ($n^{2}+1$)

O teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que há infinitos números primos da forma $x^{2}+y^{4}$. Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma $n^{2}+1$ com no máximo dois fatores primos.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. "Landau's Problems." MathWorld (em inglês)