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Conjunto perfeito

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Na matemática, em especial, na topologia, um conjunto perfeito é um conjunto fechado formado apenas por pontos de acumulação.[1] Equivalentemente, um conjunto é dito perfeito se for fechado e não possui pontos isolados. Com isto temos que todo ponto de um conjunto perfeito pode ser aproximado por outros pontos deste mesmo conjunto perfeito, isto é, dados um ponto e uma vizinhança deste, existe um outro ponto nesta vizinhança.

Conjunto dos reais

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O conjunto dos números reais é um conjunto perfeito.

Demonstração.

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É sabido que é um conjunto fechado, portanto, basta mostrarmos que este não contém pontos isolados. Para tal, considere e , temos que e está na vizinhança de com raio . Logo, temos que não é um ponto isolado. Portanto, é um conjunto perfeito.

Intervalos fechados

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Todo intervalo fechado é um conjunto perfeito.

Demonstração

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Dado um intervalo fechado , temos que não contém pontos isolados, pois caso contrário conteria pontos isolados. Logo, é um conjunto perfeito.

Dado um ponto de um conjunto perfeito , temos que existe uma sequência tal que, , para todo inteiro positivo e .

Demonstração

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Como todo ponto de é ponto limite, o resultado segue imediatamente. Porém, podemos construir tal sequência da seguinte forma. Dado , temos que existe . Indutivamente, dado um inteiro positivo , seja , temos que existe . Note que a sequência converge para zero, o que implica que, para dado , existe um inteiro positivo tal que, para todo , . Porém, como , temos que , o que garante que .

Se um conjunto é perfeito em e não é um conjunto vazio, então não é enumerável.

Demonstração

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Como é perfeito, temos que é formado por pontos limites, de modo que é um conjunto infinito. Suponhamos, por absurdo, que seja um conjunto enumerável. Considere, portanto, , seus elementos. Considere , de modo que o fecho de é . Considere, para os inteiros , as vizinhanças satisfazendo o seguinte.

(i) .

(ii) .

(iii) .

O item (iii) garante que esta construção pode ser feita indutivamente.

Agora, considere . Como é fechado e limitado, temos que é um conjunto compacto. Como , temos que nenhum ponto de pertence a . Como , temos que . Porém, pelo item (iii) temos que , pelo item (i) temos que . Porém, isto é uma contradição.

Referências

  1. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8