Derivada fracionária de Riemann-Liouville é uma das definições para derivada fracionária e é o operador inverso da Integral Fracionária de Riemann-Liouville. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, Riez e outras. [1]
Definimos a derivada fracionária de Riemann-Liouville (
), de ordem
, com
como [2]
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }f(t)\;=\ D^{n}[I^{n-\alpha }f(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178c9c91500ddaff1e00ab44e7c0fce5ffd31eea)
em que
é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e
é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira
.
Nessa definição, a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária.
Caso
,
, a derivada arbitrária de ordem
é dada por:
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{\beta }\;=\ {\dfrac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta -\alpha +1)}}t^{\beta -\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e27822e8d6a067d3a9d2784e1127da063cc402)
em que
é a Função gama.
Calculemos
utilizando o exemplo anterior.
![{\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {-1}{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {-1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}t^{-1}\;=\ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4047bc4ff2e000f2f2e2932687fe8ac9e026e16)
pois
.
Calculemos
pelo exemplo anterior.
![{\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[0\right]\;=\ 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606600044391a9708437c0c0c313c4dd836274ab)
Calculemos
.
![{\displaystyle D^{1}t^{\frac {-1}{2}}=-{\dfrac {t^{-3}{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa022ccd21eb8ed4b0c54ca4dc4129bf30eecb9)
Pelos dois exemplos anteriores concluímos que
![{\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }f(t)\neq D^{\alpha +\beta }f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521e44d3722c10a5c9a49097e0c6e3fe15192199)
Calculemos
utilizando o exemplo anterior.
![{\displaystyle _{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}+1)}}t^{-1}\;=\ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81cd405b0997a8f29be6c14254b2cd79b30ad1f)
Calculemos
pelo exemplo anterior.
![{\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[0\right]\;=\ 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1d5543a23cd01dd895fcdd0098ab0141cc89a9)
Calculemos
pelo exemplo anterior.
![{\displaystyle _{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[{\dfrac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+1)}{\Gamma (0-{\frac {3}{2}}+1)}}t^{0}\right]\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})t^{\frac {-3}{2}}}{\Gamma \left(0-{\frac {3}{2}}+1\right)}}=-{\dfrac {1}{4}}t^{\frac {-3}{2}}=D^{2}t^{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91480a51fb0802bd38c4bade6e88beac7a28f110)
Pelos dois exemplos anteriores concluímos que
![{\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }f(t)\neq D^{\beta }D^{\alpha }f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea75ffe243dab075cfa45935cb3abd8a43b95311)
Seja
, temos:
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ D^{n}[I^{n-\alpha }t^{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3df2f0c70c42458cd2d4f4d84599f880944bbb7)
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ D^{n}\left[{\dfrac {\Gamma (1)}{\Gamma (n-\alpha +1)}}t^{n-\alpha }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ac15b8af9292526bdf85236de9adf05332f841)
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {\Gamma (1)}{\Gamma (n-\alpha +1)}}\left[{\dfrac {\Gamma (n-\alpha +1)}{\Gamma (1-\alpha )}}t^{-\alpha }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e1b53952abc4c963f4a221eabdd0bae88b55a6)
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {t^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4c7e5e8d435fbed9412b6b4b146f949773d2d3)
Observe que neste exemplo quando
não-inteiro a derivada de Riemann-Liouville é diferente de zero. Entretanto observe que para
como
e
a [derivada de Riemann-Liouville resulta em zero, i.e., recupera a derivada de uma constante do cálculo clássico.
Em particular, tomando
,
![{\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {t^{-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\;=\ {\dfrac {1}{\sqrt {\pi t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659d753eed23f97c5f1e0456b8eeeae07959450)
Temos que a derivada de ordem não-inteira de Riemann-Liouville de uma constante não é zero.
Há uma diferença importantíssima entre o operador diferencial de ordem inteira e o operador diferencial fracionário de Riemann-Liouville, o primeiro é um operador local e o segundo, não [3].
Uma das soluções para Curva tautocrônica foi proposta por Niels Henrik Abel, em 1823, que é considerada a primeira aplicação do cálculo fracionário e baseia-se exatamente na derivada fracionária de Riemann-Liouville de ordem
[4] .
Notas e referências
- ↑ RODRIGUES, F. G. and OLIVEIRA, E.C. de. Introdução às técnicas do cálculo fracionário para estudar modelos da física matemática. Rev. Bras. Ensino Fís. [online]. 2015, vol.37, n.3, pp.3305-1-3305-12. ISSN 1806-1117. http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731842
- ↑ R. F. Camargo and E. C. de Oliveira, Cálculo Fracionário, Editora Livraria da Física, São Paulo, Brasil, 2015.
- ↑ Kai Diethelm, The Analysus of Fractional Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Alemanhã, 2010.
- ↑ Camargo, R. F.,"Cálculo fracionário e aplicações", http://libdigi.unicamp.br/document/?code=000439359