Derivada de Caputo

Derivada de Caputo é um dos operadores da derivada fracionária assim como Derivada Fracionária de Riemann-Liouville, derivada fracionária de Grünwald-Letnikov, Weyl, Riesz e outras formulações recentes .

História e diferencial da derivada de Caputo

A derivada fracionária de Caputo foi proposta pelo italiano Michele Caputo, em 1969, e tem origem na definição da Derivada Fracionária de Riemann-Liouville em que a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária, enquanto na formulação de Caputo a derivada de ordem arbitrária é a integral de ordem arbitrária de uma derivada de ordem inteira, ou seja, há uma inversão na ordem dos operadores. Para muitos autores, em problemas com dependência temporal, é mais conveniente adotar a formulação de Caputo, pois diferente da formulação de Riemann-Liouville a derivada de uma constante é nula e pode ser interpretada como uma taxa de variação, outro motivo é que a derivada de Caputo depende de condições iniciais dadas nas derivadas usuais da função (que são fisicamente interpretadas) e na de Riemann-Liouville depende de condições na integral fracionária que não tem interpretação física trivial .

Definição

Definimos a derivada fracionária de Caputo, de ordem $\alpha$, com $n-1<{\mbox{Re}}(\alpha )\leqslant n$ como

$_{C}D^{\alpha }f(t_{0})\equiv D^{\alpha }f(t)\;=\ I^{n-\alpha }\left[D^{n}f(t)\right]$

em que $I$ é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e $D^{n}$ é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira $n$.

Derivada de Caputo de uma constante

Consideremos $f(t)=1=t^{0}$, temos:

$D^{\alpha }f(t)\;=\ I^{n-\alpha }\left[D^{n}t^{0}\right]\;=\ 0$

pois $D^{n}t^{0}=0$ . E ao tomar $f(t)=c$ em que $c$ é constante, temos $D^{\alpha }f(t)\;=\ 0$.

Transformada de Laplace da derivada de Caputo

Calculemos a transformada de Laplace (TL) de $D^{\alpha }f(t)$ que é utilizada para resolver algumas modelagens fracionárias tais como Sistema de Lotka-Volterra Fracionário, equação logística fracionária , equação de Malthus e etc.

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]\;=\ {\mathcal {L}}\left[I^{n-\alpha }\left[D^{n}f(t)\right]\right]$

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]={\mathcal {L}}\left[\phi _{n-\alpha }(t)\ast D^{n}f(t)\right]$

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]\;=\ {\mathcal {L}}\left[\phi _{n-\alpha }(t)\right]{\mathcal {L}}\left[D^{n}f(t)\right]$

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]\;=\ s^{\alpha -n}\left[s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}f^{k}(0)s^{n-k-1}\right]$

Concluímos

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]\;=\ s^{\alpha }F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}f^{k}(0)s^{\alpha -k-1}$

Casos particulares

TL para $0<\alpha \leqslant 1$

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]\;=\ s^{\alpha }F(s)-s^{\alpha -1}f(0)$

TL para $1<\alpha \leqslant 2$

${\mathcal {L}}\left[D^{\alpha }f(t)\right]\;=\ s^{\alpha }F(s)-s^{\alpha -1}f(0)-s^{\alpha -2}f'(0)$

Não localidade e efeitos de memória

A derivada de Caputo depende de uma integral que "vai do instante que escolhemos como inicial" até o presente momento, $t$ . Desta forma este operador é não-local e preserva o chamado efeito de memória.