Desigualdade de Weitzenböck
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Junho de 2014) |
Em matemática, mais exatamente em geometria, a desigualdade de Weitzenböck, assim chamada após Roland Weitzenböck, afirma que para um triângulo de lados , , , e de área , segue a seguinte desigualdade
A igualdade ocorre se e somente se o triângulo é equilátero. A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck.
Provas
[editar | editar código-fonte]A prova desta desigualdade foi uma das questões da Olimpíada Internacional de Matemática de 1961. Mesmo assim, o resultado não é muito difícil de se obter usando a fórmula de Heron para a área do triângulo:
Primeiro método
[editar | editar código-fonte]Este método não assume qualquer conhecimento de desigualdades, exceto que todos os quadrados são não negativos.
e o resultado segue imediatamente tomando-se a raiz quadrada positiva de ambos os lados. Desde a primeira desigualdade pode-se ver que a igualdade ocorre apenas para e se o triângulo é equilátero.
Segundo método
[editar | editar código-fonte]Para este método é necessário conhecer previamente a chamada desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias.
Como foi usada a desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias, a igualdade só ocorre se e se o triângulo é equilátero.
Terceiro método
[editar | editar código-fonte]Pode ser demostrado que é uma área de um triângulo de Napoleão, sendo:
logo, igual ou maior que 0.
Ver também
[editar | editar código-fonte]Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Weitzenböck's Inequality». MathWorld (em inglês)
- "Weitzenböck's Inequality," uma demonstração interativa por Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.