Forma modular

Em matemática, uma forma modular é uma função analítica (complexa)^{[nota 1]} sobre o semiplano superior satisfazendo um certo tipo de equação funcional e condição de crescimento. A teoria das formas modulares entretanto pertence à análise complexa mas a principal importância da teoria tem tradicionalmente sido suas conexões com a teoria dos números. Formas modulares surgem em outras áreas, tais como topologia algébrica e teoria das cordas.

Uma função modular é uma forma modular de peso 0: é invariante ante o grupo modular, em vez de transformar-se na forma prescrita, e portanto é uma função modular na região modular.

A teoria da forma modular é um caso especial da teoria mais geral das formas automórficas e portanto pode ser considerada como a parte mais concreta da ampliada teoria de grupos discretos.

Como uma função sobre períodos

Uma forma modular pode ser entendida como uma função F do conjunto de períodos Λ em C do conjunto de números complexos o qual satisfaz certas condições:

(1) Se nós considerarmos o retículo

\Lambda =\langle \alpha ,z\rangle

gerado por uma constante α e uma variável z, então F(Λ) é uma função analítica de z.

(2) Se α é um número complexo não nulo e αΛ é o retículo obtido pela multiplicação de cada elemento de Λ por α, então F(αΛ) = α^−kF(Λ) onde k é a constante (tipicamente um inteiro positivo) chamado de peso da forma.

(3) O valor absoluto de F(Λ) mantem-se limitado acima assim como o valor absoluto do menor elemento não nulo em Λ é limitado além de 0.

Quando k = 0, a condição 2 implica que F depende somente da similaridade da classe do retículo. Isto é um caso especial muito importante, mas somente as formas modulares de peso 0 são as constantes. Se nós eliminarmos a condição 3 e permitir que a função tenha pólos, então os exemplos com peso 0 existem: elas são chamadas funções modulares.

A situação pode ser produtiva comparada aquela que surge na busca por funções sobre o espaço projetivo P(V): nesse cenário, seria ideal como funções F sobre o espaço vetorial V as quais são polinomiais nas coordenadas de v≠ 0 em V e satisfaz a equação F(cv) = F(v) para todo c não nulo. Infelizmente, tais funções são as únicas constantes. Se permitirmos que denominadores (funções racionais em vez de polinômios), nós podemos fazer F ser a razão de dois polinômios homogêneos do mesmo grau. Alternativamente, nós podemos tratar a questão com polinômios e tornar mais livre a dependência sobre c, deixando F(cv) = c^kF(v). As soluções são então os polinômios homogêneos de grau k. Por um lado, estes formam um espaço vetorial finito para cada k, e noutra, se nós fizermos k variar, nós podemos encontar os numeradores e denominadores para a construção de todas as funções racionais as quais são realmente funções sobre o espaço projetivo P(V) subjacente.

Poderia ser perguntado, já que polinômios homogêneos não são realmente funções sobre P(V), o que eles seriam, geometricamente falando. A resposta dentro da geometria algébrica é que eles são seções de um feixe (poderia ser também dito um fibrado de linhas neste caso). A situação com formas modulares é precisamente análoga.

Como uma função sobre um conjunto de curvas elípticas

Cada retículo Λ em C determina uma curva elíptica C/Λ sobre C; dois retículos determinam curvas elípticas isomórficas se e somente se uma é obtida da outra por multiplicação por algum α. Funções modulares podem ser entendidas como funções sobre o espaço de módulos de classes de isomorfismo de curvas elípticas complexas. Por exemplo, o j-invariante de uma curva elíptica, considerado como uma função sobre o conjunt de todas as curvas elípticas, é modular. Formas modulares podem também ser aproximadas de maneira prática de sua direção geométrica, como seções de fibrados de linhas sobre o espaço de módulos de curvas elípticas.

Converter uma forma modular F em uma função de uma única variável complexa é fácil. Faz-se z = x + iy, onde y > 0, e faz-se f(z) = F(<1, z>). (Não pode-se considerar y = 0 porque então 1 e z não irão gerar um retículo, por isso restringe-se para o caso que y é positivo.) A condição 2 sobre F agora torna-se a equação funcional

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

para a, b, c, d inteiros com ad − bc = 1 (o grupo modular). Por exemplo,

f(-1/z)=F(\langle 1,-1/z\rangle )=z^{k}F(\langle z,-1\rangle )=z^{k}F(\langle 1,z\rangle )=z^{k}f(z).

Funções as quais satisfazem a equação funcional modular para todos as matrizes em um índice de um subgrupo finito de SL₂(Z) são também consideradas como modulares, normalmente com um qualificador indicando o grupo. Então formas modulares de nível N (ver abaixo) satisfazem a equação funcional para matrizes congruentes para a matrix identidade de módulo N (frequentemente fato para um grupo maior dado por condições (mod N) sobre os elementos da matriz.)

Funções modulares

Em matemática, funções modulares são certos tipos de funções matemáticas mapeando números complexos a números complexos. Existem um número de outros usos do termo "função modular" também; ver abaixo para detalhes.

Formalmente, uma função f é chamada modular ou uma função modular se e somente se ela satisfaz as seguintes propriedades:

f é meromórfica no Meio plano superior aberto H.
Para cada matriz M no grupo modular Γ, f(Mτ) = f(τ).
A série de Fourier de f tem a forma

f(\tau )=\sum _{n=-m}^{\infty }a(n)e^{2i\pi n\tau }.

É limitada em baixo; é um polinômio de Laurent em $e^{2i\pi \tau }$ , então é meromórfica na cúspide (singularidade). Pode-se mostrar que cada função modular pode ser expressa como uma função racional of invariante absoluto de Klein j(τ), e que cada função racional de j(τ) é uma função modular; além disso, todas as funções modulares analíticas são formas modulares, embora o inverso não seja mantida. Se uma função modular f não é identicamente 0, então nós podemos mostrar que o número de zeros de f é igual ao número de polos de f no fechamento do domínio fundamental R_Γ.

Outros usos

Existe um número de outros usos do termo função modular, além deste clássico; por exemplo, na teoria de medidas de Haar, é uma função Δ(g) determinada pela ação conjugação.

Notas

↑ Seja $D$ um conjunto aberto no plano complexo e $f:D\to \mathbb {C}$ uma função infinitamente diferenciável. $f$ é dita analítica se para cada ponto $x_{0}\in D$ , existir uma vizinhança $V_{x_{0}}\subseteq D$ de $x_{0}$ tal que
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

Referências

Jean-Pierre Serre: A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII fornece uma introdução eementar à teoria das formas modulares.
Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Fornece um tratamento mais avançado.
Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Fornece uma introdução a forms modulares do pont de vista da teoria da representação.
Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators ×10^{{{1}}}
Erich Hecke: "Mathematische Werke" , Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
NP Skoruppa, D Zagier Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer

[1] Seja $D$ um conjunto aberto no plano complexo e $f:D\to \mathbb {C}$ uma função infinitamente diferenciável. $f$ é dita analítica se para cada ponto $x_{0}\in D$ , existir uma vizinhança $V_{x_{0}}\subseteq D$ de $x_{0}$ tal que
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

[nota 1]