Função identidade
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Na matemática, uma função identidade (ou função de identidade), também chamada de relação de identidade ou mapa de identidade ou transformação de identidade, é uma função que sempre retorna o mesmo valor usado como argumento. Nas equações, a função é dada por . Trata-se de uma função bijetiva.[1]
Definição
[editar | editar código-fonte]Formalmente, se é um conjunto, a função de identidade em é definida para ser a função com domínio e contradomínio definida por:
ou seja, para todos os elementos em .[2]
Em outras palavras, o valor da função em (isto é, o contradomínio) é sempre o mesmo elemento de entrada de (agora considerado como o domínio). A função de identidade em é claramente uma função injetiva, bem como uma função sobrejetiva, por isso também é bijetiva.[3]
A função de identidade em é frequentemente denotada por .
Na teoria dos conjuntos, onde uma função é definida como um tipo particular de relação binária, a função identidade é dada pela relação de identidade, ou diagonal de .
O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear.
Propriedade algébrica
[editar | editar código-fonte]Se é uma função qualquer, então nós temos (onde "" denota composição de função). Em particular é o elemento de identidade do monoide de todas as funções de até .
Como o elemento de identidade de um monoide é único, pode-se definir alternadamente a função de identidade ser esse elemento de identidade. Tal definição generaliza para o conceito de um morfismo de identidade na teoria de categorias, onde os endomorfismos de não deve ser funções.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- A função identidade é um operador linear, quando aplicado a espaços vetoriais.[4]
- A função identidade nos inteiros positivos é uma função completamente multiplicativa (essencialmente multiplicação por 1), considerada na teoria dos números.[5]
- Em um espaço vetorial -dimensional, a função identidade é representada pela matriz identidade , independentemente da base.[6]
- Em um espaço métrico, a identidade é trivialmente uma isometria. Um objeto sem qualquer simetria tem como grupo de simetria o grupo trivial contendo apenas essa isometria (tipo de simetria ).[7]
- Em um espaço topológico, a função identidade é sempre contínua.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- função inclusão (por abuso de linguagem, por vezes também se chama identidade à função inclusão)
Referências
- ↑ Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa. Funções. Página 10. Disponível em: <http://preprint.math.ist.utl.pt/files/ppgmutlfuncoes.pdf>. Acesso em: 07 jan 2011.
- ↑ Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, ISBN 978-0-8176-3248-9, Springer
- ↑ Mapa, Sadhan Kumar. Higher Algebra Abstract and Linear 11th ed. [S.l.]: Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1
- ↑ Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th ed. , Wiley International
- ↑ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Number Theory through Inquiry. Col: Mathematical Association of America Textbooks. [S.l.]: Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519
- ↑ T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Col: Undergraduate Texts in Mathematics. [S.l.]: Springer. ISBN 038-733-195-6
- ↑ James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9