Homotopia

Uma homotopia entre dois caminhos.

Em topologia, homotopia (do grego antigo: ὁμός homós "mesmo" τόπος tópos "lugar") significa deformar continuamente de duas aplicações em um espaço topológico. Homotopia possuí várias aplicações na matemática, atuando principalmente como um invariante topológico.

Definição Formal

Em Topologia, Duas funções contínuas $f,g:X\rightarrow Y$ entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$, chamada homotopia, tal que $F(x,0)=f(x)$ e $F(x,1)=g(x)$, onde $F_{t}=F_{|X\times \{t\}}$.

Intuitivamente, podemos pensar o parâmetro $t$ como sendo o tempo, assim $F$ descreve uma deformação contínua de $f$ em $g$: quando $t=0$ temos a função $f(x)$ e quando $t=1$ temos a função $g(x)$.

Propriedades

Seja $X$ um espaço topológico. Dizemos que dois caminhos $f,g:I\to X$, com $f(0)=x_{0}=g(0)$ e $f(1)=x_{1}=g(1)$ são homotópicos se existe uma função contínua $H:I\times I\to X$ tal que$$H(s,0)=f(s),H(s,1)=g(s),H(0,t)=x_{0}=f(0)=g(0),H(1,t)=x_{1}=f(1)=g(1),\forall t\in I.$$Ser homotopia é uma relação de equivalência, o que nos permite tomar a classe de equivalência das homotopias $[f]=\{g:I\to X|f\sim g\}$, onde $f\sim g$ denota a relação de equivalência homotópica.

Se for o caso em que $f(1)=g(0)$, isto é, o fim do caminho $f$ é o início do caminho $g$, então podemos definir o produto destes caminhos como sendo o caminho

$(f\cdot g)(s)={\begin{cases}f(2s),&{\text{se }}0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1),&{\text{se }}{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}}$

O produto de caminhos satisfaz as propriedades de associatividade: $(f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h)$, existência do elemento neutro: $\exists f_{x_{0}}=x_{0}{\text{e}}f_{x_{1}}=x_{1}{\text{caminhos constantes, tais que }}f\cdot f_{x_{1}}=f=f_{x_{0}}\cdot f$ e existência do elemento inverso: existe um ${\bar {f}}:I\to X,s\mapsto {\bar {f}}=f(1-s)$ tal que ${\bar {f}}\cdot f=f_{x_{1}}\ {\text{e}}\ f\cdot {\bar {f}}=f_{x_{0}}$.

Grupos de homotopia

Os dois caminhos pontilhados acima são homotópicos relativamente aos seus pontos iniciais e finais. A animação representa uma possível homotopia entre estes dois caminhos.

Definimos o grupo de homotopia relativo ao ponto base $x_{0}$, como sendo o conjunto $\pi _{1}(X,x_{0})=\{[f]\mid f:I\to X,f(0)=f(1)=x_{0}\}$, munido do produto definido acima.

O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico $X$, com ponto base $x_{0}$, que se representa por $\pi _{n}(X,x_{0})$, é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas $\alpha :[0,1]^{n}\rightarrow X$ tais que $\alpha (\partial [0,1]^{n})=\{x_{0}\}$, munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

Equivalência homotópica

Dois espaços topológicos $X$ e $Y$ dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow X$ tais $f\circ g$ e $g\circ f$ sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de $Y$ e $X$. Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.

Outras noções de igualdade topológica

• Homeomorfismo
• Difeomorfismo