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Identidade de polarização

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Vetores envolvidos na identidade de polarização.

Em álgebra linear, a identidade de polarização expressa um produto interno de um espaço normado em função de sua norma. Se uma norma surge de um produto interno, então a identidade de polarização pode ser usada para expressar esse produto interno inteiramente em termos da norma.

A norma gerada por um produto interno, satisfaz a lei do paralelogramo: . De fato, como observado por John von Neumann,[1] a lei do paralelogramo caracteriza as normas que surgem de produtos internos. Explicitamente, se é um espaço normado, então:[2][3]

A lei do paralelogramo vale para norma se e somente se existe um produto interno em tal que para todo

Identidades de polarização

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Um produto interno, em um espaço vetorial, gera uma norma por meio da seguinte relação: Com a identidade de polarização a relação é invertida: é possível obter um produto interno de uma norma. Todo produto interno satisfaz:

Espaços vetoriais reais

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Se o espaço vetorial é sobre os números reais, então as identidades de polarização são definidas por:

Essas formas são todas equivalentes por conta da lei do paralelogramo:[prova 1]

Espaços vetoriais complexos

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Para o espaço vetorial complexo, as identidades de polarização devem considerar a parte imaginária do produto interno. A parte complexa do produto interno depende se é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação que é comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento enquanto que é comumente usado em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Elas estão relacionados pela fórmula:

A parte real de qualquer produto interno (independente de qual argumento é antilinear ou se é real ou complexo) é uma função bilinear simétrica que para qualquer é sempre igual a:[4]

É sempre uma função simétrica, ou seja:[prova 1] e também satisfaz:

Prova

Portanto , em outras palavras, mover um fator de para o outro argumento adiciona um sinal negativo.

Diferente da sua parte real, a parte imaginária de um produto interno complexo depende de qual argumento é antilinear.

Antilinear no primeiro argumento

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Para o produto interno antilinear no primeiro argumento, para todo

A penúltima igualdade é semelhante a fórmula que expressa o funcional linear em termos de sua parte real:

Antilinear no segundo argumento

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Para o produto interno que é antilinear no segundo argumento, segue de pela relação: Então para quaisquer [4]

Essa expressão pode reescrita como:[5]

Portanto se denota as partes real e imaginária de um produto interno no ponto do seu domínio, então sua parte imaginária será: em que o escalar está sempre localizado no mesmo argumento que o produto interno é antilinear.

Reconstruindo o produto interno

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Seja um espaço normado que satisfaz a lei do paralelogramo: então existe um único produto interno em tal que para todo [4][1]

Outra condição necessária e suficiente para existir um produto interno que induz uma norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu:[6]

Aplicações e consequências

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Se é um espaço de Hilbert complexo, então é real se, e somente se, sua parte complexa é o que acontece se, e somente se, Similarmente, é imaginário puro se, e somente se, Por exemplo, de conclui-se que é real e que é imaginário puro.

Se é uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (logo para todo ), entãoou seja, isometrias linear preservam o produto interno.

Se é uma isometria antilinear, então

Relação com a lei dos cossenos

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A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como:Essencialmente, essa é uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores , e . Em particular,em que é o ângulo entre os vetores e .

A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação:então,similarmente,As formas (1) e (2) da identidade de polarização são obtidas resolvendo essas equações para u · v, enquanto a forma (3) é obtida subtraindo essas duas equações (somando-as obtém-se a lei do paralelogramo).

Notas e referências

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  1. a b Lax 2002, p. 53.
  2. Blanchard, Philippe; Bruening, Erwin (4 de outubro de 2002). Mathematical Methods in Physics: Distributions, Hilbert Space Operators, and Variational Methods (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 192. ISBN 0817642285 
  3. Teschl, Gerald (27 de março de 2017). «Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators». American Mathematical Society Bookstore. Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann). ISBN 978-0-8218-4660-5. Consultado em 1 de fevereiro de 2022 
  4. a b c Schechter 1996, pp. 601-603.
  5. «normed spaces - Derivation of the polarization identities?». Mathematics Stack Exchange. Consultado em 1 de fevereiro de 2022 
  6. Apostol, Tom M. (1 de novembro de 1967). «Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric». Mathematics Magazine (5): 233–235. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.1967.11975804. Consultado em 1 de fevereiro de 2022 
  1. a b Seja Como temos que e Além disso, o que prova que Como temos que e portanto o que prova que