Interpolação polinomial

Definição

Denomina-se interpolação polinomial o processo matemático de interpolação em que a função interpoladora é um polinômio. A função interpoladora é a função $p(x).$

Definidos um intervalo $[a;b]\subset \mathbb {R}$ e uma função $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R} ,$ denomina-se interpolação o processo matemático de avaliar $f(x),\forall x\in [a;b],$ substituindo-se a função $f(x)$ pela função interpoladora $p(x),$ de modo que $p(x_{i})=f(x_{i}),\forall i\in [1;n]$ ($\subset \mathbb {N}$).

Assim, $f(x)$ é a função real, definida em $[a;b]\subset \mathbb {R} ,$ da qual conhecem-se os valores nos pontos de abcissas $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{i}\in [a;b],\forall i\in [1;n]$ ($\subset \mathbb {N}$).

Na fase de escolha do processo matemático de interpolação, frequentemente são escolhidos polinómios. Isto porque os polinómios apresentam relativa simplicidade, e também porque permitem representar satisfatoriamente a generalidade das funções que surgem no dia-a-dia.

Métodos de interpolação polinomial

Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos outros, quanto à técnica de determinação do polinómio interpolador. Os erros de arredondamento diferem em cada caso, pois as operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada método.

• Método de Newton
• Método de Lagrange
• Método de Bernstein

Exemplo

Quer-se achar o polinômio do terceiro grau que interpola a tabela:

x  f(x)
1  -17
2    4
3   71
4  202

Constrói-se o sistema A.X = B

A =
1 1  1  1
1 2  4  8
1 3  9 27
1 4 16 64

Em A, a segunda coluna são os valores de x, a terceira coluna é a segunda ao quadrado e a quarta é a segunda ao cubo.

B =
-17
4
71
202

As raízes deste sistema são os coeficientes do polinômio:

X =
-10
-15
5
3

f(x)=3x³+5x²-15x-10