Polinómio de Newton

Em análise numérica, polinômio ^{(português brasileiro)} ou polinómio ^{(português europeu)} de Newton (nomeado em referência a Isaac Newton) é um polinômio interpolador para um dado conjunto de pontos. Os coeficientes do polinômio são calculados através de diferenças divididas.

Dado um conjunto de $k+1$ pontos:

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

com todos $x_{j}$ distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Newton é dado por:

$p(x)=y_{0}+\sum _{i=1}^{n}\left(\triangle ^{i}y_{0}\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j})\right)$

Onde

$\triangle ^{i}y_{0}$ := diferença dividida de i-ésima ordem, do ponto 0.

Exemplo

O polinômio $p_{2}(x)$, que interpola $f(x)$ nos pontos dados

$x_{0}=-1~\,f(x_{0})=4$

$x_{1}=0~\,f(x_{1})=1$

$x_{2}=2~\,f(x_{2})=-1$

Na forma de Newton

${\begin{array}{c||ccc}x&-1&0&2\\\hline f(x)&4&1&-1\\\end{array}}$ (Operador diferenças divididas )

$p_{2}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f[x_{0},x_{1}]+(x-x_{0})(x-x_{1})f[x_{0},x_{1},x_{2}]$

${\begin{array}{c||ccc}x&{\mbox{Ordem 0}}&{\mbox{Ordem 1}}&{\mbox{Ordem 2}}\\\hline -1&4&&\\&&-3&\\0&1&&{\frac {2}{3}}\\&&-1&\\2&-1&&\\\end{array}}$

$p_{2}(x)=4+(x-(-1))({\frac {(1-4)}{(0-(-1))}})+(x-(-1))(x-0)({\frac {{\frac {((-1)-1)}{(2-0)}}-{\frac {(1-4)}{(0-(-1))}}}{2-(-1)}})$

$p_{2}(x)=4+(x+1)(-3)+(x+1)(x-0)({\frac {2}{3}})$

Ver também

• Série de Newton
• Interpolação polinomial
• Polinômio de Lagrange
• Polinómios de Bernstein

Ligações externas

• Amy Hui-Lin Chiu, Quartic Newton's method and matings of polynomials Thesis (Ph. D.)--Boston University, 1997. OCLC 37597068 (em inglês)
• Wilhelm Huisinga, Faber and Newton polynomial integrators for open system density matrix propagation , Berlin : ZIB, 1998. OCLC 76017284 (em inglês)