A interpolação polinomial que utiliza os quocientes de determinantes foi desenvolvida pelo engenheiro mecânico e matemático brasileiro Marcello José Quintieri Pinheiro (Nova Friburgo, 8 de março de 1965) em 2003 a partir da fórmula clássica de interpolação de Lagrange. Os coeficientes polinomiais como quocientes de determinantes podem também ser obtidos utilizando-se a Regra de Cramer. Os quocientes de determinantes permitem calcular todos os coeficientes de um polinômio de grau n
1 definido pelos pontos (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn). O desenvolvimento foi registrado sob o número 294206 no EDA da Fundação Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro em 30 de julho de 2003 [1].
A fórmula de interpolação de Lagrange desenvolvida como resultado dos trabalhos do matemático Joseph Louis Lagrange (Turim, 25 de janeiro de 1736 - Paris, 10 de abril de 1813) é:
![{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\prod _{i\neq j}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879912abd197ff52202ed61782cbfcd22aedaf3d)
A fórmula de interpolação de Lagrange pode ser escrita como o somatório do produto entre a razão de determinantes e a variável independente xi, como segue:
![{\displaystyle y=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {detA_{i}}{detV_{n}}}x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3df83a4f0c91e67560474703253f4c21d8e560a)
onde
são os coeficientes de um polinômio de grau n
1 definido pelos n pontos (x1,y1), (x2,y2), . . . , (xn,yn). O índice i é um número inteiro do intervalo
Ai e Vn são matrizes, sendo Vn a matriz de Vandermonde de ordem
Considerando dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), tem-se:
![{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84737bb888a3326499ffb8a4040aeea228acd9a)
- que é a função do 1o grau ou função afim
onde a0 é o coeficiente linear da reta e a1 é o coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente linear determina o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) e o coeficiente angular é determinado pela tangente do ângulo definido entre o eixo das abscissas (eixo x) e a reta no sentido anti-horário em relação ao primeiro quadrante.
![{\displaystyle a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cebe3971bdb1a152b7c42ee3927cf536590f399)
![{\displaystyle a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9ce1ea675d198345cf3461c6c9d21d39655d5b)
Considerando três pontos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3), tem-se:
![{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}x+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee136cb2c9697424870b0c91f31879f839bd7be)
- que é a função do 2o grau ou função quadrática
![{\displaystyle \neq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cc3d8d8c60120bc2f905bae4d5e10d8ad6a3f4)
![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
![{\displaystyle a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28f82c0a88eb1e127a9b6191e3ceff961fcede1)
![{\displaystyle a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46a6428457a51ebe17a7ec5c8962c2a366db209)
![{\displaystyle a_{2}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d0e513660fac2f9c17f9dfb7a625082590139c)
Se
então os pontos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares.
Considerando quatro pontos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) e (x4,y4), tem-se:
![{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{3}\\x_{2}&y_{2}&1&x_{2}^{3}\\x_{3}&y_{3}&1&x_{3}^{3}\\x_{4}&y_{4}&1&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x^{2}+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}&1\\x_{4}&y_{4}&x_{4}^{2}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb5166eb74cc3389b7ec237fafd866360e7cd05)
- que é a função do 3o grau ou função cúbica
![{\displaystyle \neq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cc3d8d8c60120bc2f905bae4d5e10d8ad6a3f4)
![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
![{\displaystyle a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756e1f833ab4a5a5552e98f29a2773568ff98a0a)
![{\displaystyle a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af0396a9abc551412348c1b8fafabc97e9fcccf)
![{\displaystyle a_{2}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{3}\\x_{2}&y_{2}&1&x_{2}^{3}\\x_{3}&y_{3}&1&x_{3}^{3}\\x_{4}&y_{4}&1&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddadac8d0bd51fc1362ea4f141e379cc10b99435)
![{\displaystyle a_{3}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}&1\\x_{4}&y_{4}&x_{4}^{2}&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015878e5b965ce4faf0aaa66fb67e6776a9fc6a6)
Se os pontos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), . . . , (xn,yn) são colineares, então
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}=...=a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f1db3d6a01fb8d6e3df6b9155d318ab0bfdbd3)
e
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}=...=a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacfaa3fe0ce7762a1cb35b3eecc7a3ec00fb033)
tal que
Referências
- ↑ Pinheiro, M. J. Q., "Funções polinomiais com coeficientes de razões de determinantes". Registro de propriedade intelectual no 294206 de 30 de julho de 2003. Escritório de Direitos Autorais da Fundação Biblioteca Nacional, 2003.