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Em matemática, uma série de Liouville-Neumann é uma série infinita que corresponde à técnica do formalismo resolvente para solução de equações integrais de Fredholm na teoria de Fredholm.
Uma série de Liouville-Neumann é definida por
,
que é a única solução contínua de uma equação integral de Fredholm do segundo tipo
.
Se o núcleo iterado de ordem n é definido por
![{\displaystyle K_{n}\left(x,z\right)=\int \int \cdots \int K\left(x,y_{1}\right)K\left(y_{1},y_{2}\right)\cdots K\left(y_{n-1},z\right)dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e80c7c9081c4a78629c32f32ee4d7335eaa203)
então
.
O núcleo resolvente é dado por
.
A solução da equação integral é:
.
Métodos similares podem ser usados para resolver equações integrais de Volterra.