Seja uma função
, ou seja, uma função cujo domínio são os pares
, com
. Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos
, conforme ilustrado abaixo
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Denotamos por
a sequência dupla dessa função.[1]
O valor do termo
dessa sequência, correspondente à posição
, é chamado de
termo da sequência dupla.
É fácil notar que, como a sequência é definida em
,
e
.
Dizemos que uma sequência dupla é convergente se
.
Assim,
é convergente se
. Como
é único, ele é chamado de limite duplo de
e é denotado por
.
Tome
, isso implica
(1)
(2)
(3)
(4) seja
,
e
Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.
DEMONSTRAÇÃO
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Imediato.
Seja uma sequência dupla de Cauchy, tome
as sequências diagonais , para .
Oras, é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então,
do Critério de Cauchy de uma variável.
Seja e dado,
Como é Cauchy, e
Pela desigualdade triangular
. Logo, converge para .
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Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites
iterados, então esses limites têm que ser iguais.[2]
DEMONSTRAÇÃO
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Como o limite duplo existe, dado , .
Segue que, se existe e , podemos levar em para obter , se , de modo que , cqd.
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- ↑ Ghorpade, Sudhir R.,Balmohan V. Limaye (2010). «Chapter 7». A Course in Multivariable Calculus and Analysis. [S.l.]: Springer. p. 369-375
- ↑ Walker, Peter. «Chapter 1». Examples and Theorems in Analysis. [S.l.: s.n.]