Teorema de Simson-Wallace

O teorema de Simson-Wallace recebe do matemático escocês e professor de matemática da Universidade de Glasgow Robert Simson (14 de outubro de 1687 - 1 de outubro de 1768) e do matemático, astrônomo e inventor do pantografo William Wallace (23 de setembro de 1768 - 28 de abril de 1843). Além do teorema, tanto Simson quanto Wallace tiveram grandes contribuições matemáticas como, por exemplo, uma demonstração para o depois ia ser conhecido como o teorema de Bolyai-Gerwien .O teorema explica quando o triângulo pedal de um ponto é degenerado.

Enunciado do Teorema

Dado um triângulo $ABC$ e um ponto $P$ não situado sobre as retas suportes de seus lados, o triângulo pedal de $P$ em relação a $ABC$ é degenerado se, e somente se, $P$ estiver sobre o círculo circunscrito a $ABC$.

Demonstração

Suponha, sem perda de generalidade, que $P$ é exterior ao triângulo $ABC$ e está situado na região angular $A{\hat {B}}C$. Considere os pontos $M,N$ e $O$ os pés das perpendiculares baixadas de $P$ com relação as retas suportes dos lados $BC,AC$ e $AB$ respectivamente. Suponha que, sem perda de generalidade que $M$ e $N$ estão nos segmentos $BC$ e $AC$ e que $O$ está no prolongamento de $AB$. Como $P{\hat {O}}A=P{\hat {N}}A=90^{\circ }$, o quadrilátero $ANPO$ é inscritível. De modo análogo, temos que $PNMC$ também é inscritível. Então,

$A{\hat {P}}C-M{\hat {P}}O=M{\hat {P}}C-O{\hat {P}}C=M{\hat {N}}C-O{\hat {N}}A$.

Ou seja,

$A{\hat {P}}C=M{\hat {P}}O\Leftrightarrow M{\hat {N}}C=O{\hat {N}}A\Leftrightarrow M,N$ e $O$são colineares.

Daí, calculando a soma dos ângulos internas de $BCPO$, temos $M{\hat {P}}O=180^{\circ }-A{\hat {B}}C$, de modo que

$A{\hat {P}}C=M{\hat {P}}O\Leftrightarrow M{\hat {P}}O+A{\hat {B}}C=180^{\circ }\Leftrightarrow ABCP$ é inscritível. $_{\Box }$

A reta determinada por $M,N$ e $O$ recebe o nome de reta de Simson-Wallace relativa ao ponto $P$.

Referências

• CAMINHA, Antonio . Tópicos de Matemática Elementar Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - 2a Edição. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2013. v. 2. 464p