Usuário(a):MGromov/Desigualdade de Boole
Na teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.
Formalmente, para um conjunto contável de eventos de A1, A2, A3, ..., temos
Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é σ-sub-aditivo.
Prova
[editar | editar código-fonte]Prova usando indução
[editar | editar código-fonte]A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.
Para o caso , segue-se que
Para o caso , tem-se que
Como e porque a operação de união é associativa, tem-se que
Como
pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que
- ,
e, portanto,
- .
Prova sem o uso de indução
[editar | editar código-fonte]Para quaisquer eventos em um espaço de probabilidade, tem-se que
Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então
o que é chamado de aditividade contável.
Se então,
De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,
Observe que ambos os termos à direita são não-negativos.
Então é preciso modificar os conjuntos de para que eles se torne disjuntos.
Se , então sabe-se que
Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:
Desigualdades de Bonferroni
[editar | editar código-fonte]A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos.[1] Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.
Definindo
e
bem como
para todos os números inteiros de k em {3, ..., n}.
Então, para k ímpares em {1, ..., n},
e k pares em {2, ..., n},
A desigualdade de Boole é recuperada definindo k = 1. Quando k = n, então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.
Veja também
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- Bonferroni, Carlo E. (1936), «Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità», Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze (em Italian), 8: 1–62
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redundantes (ajuda) - Dohmen, Klaus (2003), Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, ISBN 3-540-20025-8, Lecture Notes in Mathematics, 1826, Berlin: Springer-Verlag, pp. viii+113
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e|isbn=
redundantes (ajuda) - Galambos, János; Simonelli, Italo (1996), Bonferroni-Type Inequalities with Applications, ISBN 0-387-94776-0, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag, pp. x+269
|ISBN=
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redundantes (ajuda);|author-link=
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redundantes (ajuda) - Galambos, János (1977), «Bonferroni inequalities», Annals of Probability, 5 (4): 577–581, doi:10.1214/aop/1176995765
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redundantes (ajuda);|DOI=
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redundantes (ajuda) - Galambos, János (2001), «Bonferroni inequalities», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Este artigo incorpora material de Bonferroni inequalities do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.