União (matemática)

Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Em outras palavras, a união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos. A união é uma operação binária, na álgebra booleana seria o Operador OR. A união de dois conjuntos sempre resultará em todos os elementos de ambos os conjuntos, sendo apresentados apenas uma única vez. É representada pelo símbolo $\cup$ .

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por $\cap$ a interseção de conjuntos, tem-se

|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|

,

que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

,

que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se $A\cup B\,$ por:^[1]

A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\,

Por exemplo:

Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,$
Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,$ . Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

\forall A\forall B\exists F(A\in F\land B\in F)

(Axioma do par)

\forall F\exists C\forall y\forall x(x\in y\land y\in F\rightarrow x\in C)

(Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

\forall A\forall B\exists C\forall x((x\in A\lor x\in B)\rightarrow x\in C)

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula $\Phi =(x\in A\lor x\in B)\,$ para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

\forall A\forall B\exists D\forall x(x\in D\iff (x\in A\lor x\in B))

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

\forall A\forall B\exists !(A\cup B)\forall x(x\in (A\cup B)\iff (x\in A\lor x\in B))

União generalizada

Dado um conjunto $S$ e um conjunto de índices $\Lambda$ . Se para todo $\lambda \in \Lambda$ tem-se que $A_{\lambda }\subset S$ , diz-se que $\left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }:=\{X\in \wp (S);\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,X=A_{\lambda }\}$ é uma família de partes de $S$ , onde $\wp (S)$ é o conjunto das partes de $S$ .

A união dos elementos da família $\left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }$ é o conjunto:

{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\in S;\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,A_{\lambda }\ni x\}}

.

Se existir uma bijeção $\sigma :\mathbb {N} \to \Lambda$ , então pode-se denotar tal união por

{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}

,

onde

B_{i}:=A_{\sigma (i)}

para todo

i\in \mathbb {N}

, e diz-se que tal união é uma união enumerável.

Se $\Lambda$ for finito e $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ forem seus elementos, então pode-se denotar tal união por

{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}}

,

onde

B_{i}:=A_{\lambda _{i}}

e diz-se que tal união é uma união finita.

Uma união arbitrária é uma união onde não se sabe, a priori, a cardinalidade do conjunto de índices. Tais definições são importantes na topologia, em que por exemplo, a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado e a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Exemplo

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A $\cap$ B = {1,9}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}

Propriedade

Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.

Sintaxe

Consequência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:

A\cup B=B\cup A

A união é também uma adesão:

(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)

Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente:
A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).

Exemplos

Considerando dois conjuntos finitos, A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}. A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:

A\cup B=\{1;2;3;4\}

No mundo real podemos representar duas tabelas:

Chegada
Chegada	Trem	Estação	Hora
1	ES609	Firenze S.M.N.	15.30'
2	ES609	Bologna C.	16.30'
3	ES609	Padova	17.50'
4	ES609	Venezia S. Lucia	18.25'

Partida
Partida	Trem	Estação	Hora
1	ES609	Roma Termini	14.00'
2	ES609	Firenze S.M.N.	15.40'
3	ES609	Bologna C.	16.35'
4	ES609	Padova	17.55'

Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte:

SELECT hora, trem
FROM chegada
WHERE estacao LIKE "Bologna%"

UNION

SELECT hora, trem
FROM partida
WHERE estacao LIKE "Bologna%"

Que produzirá o seguinte resultado:

Hora	Trem
16.30'	ES609
16.35'	ES609

Referências

↑ Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]

[sunichi.toida.set.operations-1] Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]

[1]

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine