Limites e colimites

Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.

Definição

Sejam $J,C$ categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor $F:J\to C$. Aqui, para cada $c\in C$, denota-se por $\Delta (c):J\to C$ o functor constante, definido por: $\Delta (c)(i)=c$ para cada $i\in J$; $\Delta (c)(u:i\to j)=1_{c}$ para cada $u$ morfismo em $J$.

Cones

Um cone do vértice $c\in C$ ao functor $F$ é uma transformação natural $\Delta (c){\dot {\to }}F$, e, dualmente, um cone de $F$ ao vértice $c$ é uma transformação natural $F{\dot {\to }}\Delta (c)$. Em símbolos: $$\mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),$$ $$\mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).$$

A condição de naturalidade para cones de $c$ a $F$ é $F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}$ para cada $k:i\to j$ em $J$, ou seja, $${\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},$$ e cones de $F$ a $c$ satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor $\mathrm {Cone} (-,F):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}$ (e analogamente $\mathrm {Cone} (F,-):C\to {\mathsf {Set}}$); para cada $f:c\to d$, $\mathrm {Cone} (f,F)$ leva uma transformação natural de componentes $\lambda _{i}:d\to F(i)$ a uma de componentes $\lambda _{i}\circ f:c\to F(i)$.

Limites e colimites

Em cada representação $$\hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),$$ o objeto $a$ é chamado de limite de $F$; o correspondente elemento universal $\lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)$ é chamado cone limitante. Noutras palavras, $\lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F$ é cone limitante se e só se, para cada outro cone $\mu :\Delta (b){\dot {\to }}F$, há precisamente uma seta $f:b\to a$ tal que $\mu _{j}=\lambda _{j}\circ f$ para cada $j\in J$.

Dualmente, numa representação $$\hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),$$ o objeto $a$ é chamado de colimite de $F$, e o elemento universal $\lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)$ é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por $\mathrm {lim} \,F$, $\mathrm {colim} \,F$.

Exemplos

Um limite para um functor $F:J\to C$ é chamado:

• produto quando $J$ é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:$$\hom _{C}(c,a\times b)\cong \mathrm {Cone} (c,F)\cong \hom _{C}(c,a)\times \hom _{C}(c,b),$$onde $a,b$ são as imagens de $F$ nos dois objetos de $J$.
• objeto terminal quando $J$ é vazia. A representação acima se reduz a:$$\hom _{C}(a,t)\cong \mathrm {Cone} (a,F)\cong \star ,$$onde $\star$ é conjunto de exatamente um elemento.
• equalizador quando $J=\bullet \rightrightarrows \bullet$ (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
• produto fibrado (ou pullback) quando $J=\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet$.

Dualmente, um colimite para $F:J\to C$ é chamado:

• coproduto quando $J$ é discreta.
• objeto inicial quando $J$ é vazia.
• coequalizador quando $J=\bullet \rightrightarrows \bullet$.
• coproduto fibrado (ou pushout) quando $J=\bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet$.

Quando a categoria $C$ é uma pré-ordem,

• o limite de um functor $F:J\to C$ é o ínfimo $\inf _{i\in J}{F(i)}$.
• o colimite de um functor $F:J\to C$ é o supremo $\sup _{i\in J}{F(i)}$.

Existência

Categorias completas e cocompletas

Uma categoria $C$ é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena $J$, todo functor $F:J\to C$ tem limite. Dualmente, $C$ é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor $F:J\to C$ tal que $J$ é categoria pequena tem colimite.

Se $C$ tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então $C$ é completa. Com efeito, um limite de $F:J\to C$ é o domínio $d$ do equalizador: $${\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}$$ em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, $p_{(-)}$ denota as projeções dos produtos): $${\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,$$ e o cone limitante tem componentes $p_{i}\circ e:d\to F(i)$ para cada $i\in J$.

Na categoria dos conjuntos

A categoria ${\mathsf {Set}}$ dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor $F:J\to {\mathsf {Set}}$: $$\lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},$$ $$\operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,$$ onde $\sim$ é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, $\iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}$ denota as inclusões no coproduto): $$\iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))$$ para cada $x\in F(j)$ e $u:j\to k$.

Adjunção com o functor diagonal Δ

O functor $\Delta :C\to C^{J}$ tem adjunto direito se e só se $C$ admite todos os limites indexados por $J$, e tem adjunto esquerdo se e só se $C$ admite todos os limites indexados por $J$:

$\hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)$, $\hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))$.

Neste caso, $\operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim}$, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores $C^{J}\to C$.

Functores e limites

Um functor $U:C\to D$:

• preserva os limites de $F:J\to C$ se e só se, para cada cone limitante $\lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F$, também $U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF$ é cone limitante.
• reflete os limites de $F:J\to C$ se e só se, para cada cone $\lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F$ tal que $U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF$ é cone limitante, também $\lambda$ é cone limitante.
• cria os limites de um functor $F:J\to C$ tal que $UF:J\to D$ tem limite se e só se $F:J\to C$ também tem limite, e $U$ preserva e reflete os limites de $F$.
• estritamente cria os limites de $F$ se e só se, para cada cone limitante $\mu :\Delta (d){\dot {\to }}UF$, há único $c\in C$ e cone $\lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F$ tal que $\mu =U\lambda$, e ainda mais este $\lambda$ é cone limitante.

(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.

Um functor $U:C\to D$ é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).

Os functores $\hom _{C}(c,-):C\to {\mathsf {Set}}$ são sempre contínuos. Assim, têm-se isomorfismos: $$\hom _{C}(c,\lim F)\cong \lim(\hom _{C}(c,F(-)))$$ $$\hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \lim(\hom _{C}(F(-),c))$$

Propriedades

Limites pontualmente

Um limite de um functor F : J → C^A existe precisamente quando cada functor E_a ∘ F : J → C tem limite (onde E_a : C^A → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de E_a ∘ F para cada a ∈ A.

Limites comutam

Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor

lim_{j ∈ J} F(–, j) : I → C,

que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.

Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo

lim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) ≅ lim_{j ∈ J} lim_{i ∈ I} F(i, j).

Troca de limite com colimite

Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica"

colim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) → lim_{j ∈ J} colim_{i ∈ I} F(i, j),

quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 

Ligações externas

• «Category Theory Demonstrations» (em inglês). Página que gera exemplos de limites e colimites na categoria dos conjuntos finitos.