Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.[1][2]
Sejam
categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor
. Aqui, para cada
, denota-se por
o functor constante, definido por:
para cada
;
para cada
morfismo em
.[3]
Um cone do vértice
ao functor
é uma transformação natural
, e, dualmente, um cone de
ao vértice
é uma transformação natural
.[4] Em símbolos:
![{\displaystyle \mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f46bc16f483a556b60f5acfbd43d966df95b655)
![{\displaystyle \mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db337f4e3fede43a60af2bd63d64cf52b9d8e1c)
A condição de naturalidade para cones de
a
é
para cada
em
, ou seja,
![{\displaystyle {\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1075a5199ecff5c62efe330529fe748c3fe9eb7b)
e cones de
![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
a
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
satisfazem a condição dual.
Adicionalmente, temos functor
(e analogamente
); para cada
,
leva uma transformação natural de componentes
a uma de componentes
.[5]
Em cada representação
![{\displaystyle \hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417529b0429df1f789008b37bde86c66a1e62f8c)
o objeto
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
é chamado de
limite de
![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
; o correspondente
elemento universal ![{\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8064a62a2274de1c93fef43d3c20ef27e9ad8209)
é chamado
cone limitante. Noutras palavras,
![{\displaystyle \lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1677e19be3ec6fb375d336d0bffbd805a6891dec)
é cone limitante se e só se, para cada outro cone
![{\displaystyle \mu :\Delta (b){\dot {\to }}F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189111799565c1ca0f50072054f15b8276d89dd3)
, há precisamente uma seta
![{\displaystyle f:b\to a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275fe590c15271e6fba490dd693ce9e4fb24726f)
tal que
![{\displaystyle \mu _{j}=\lambda _{j}\circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b001bc05f94687196f5b3aeafcf3fb62c9a35b)
para cada
![{\displaystyle j\in J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6d6a463cc24fcc2d0ad452450c7a9d845409a7)
.
Dualmente, numa representação
![{\displaystyle \hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9402c0e97d27fbfeab6a7e38963afbe8c8fbeb86)
o objeto
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
é chamado de
colimite de
![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
, e o elemento universal
![{\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe6a47d466b5d763e5f1b385ebfbd8a47dcc54a)
é chamado
cone colimitante.
Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por
,
.[4][1][2]
Um limite para um functor
é chamado:
- produto quando
é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:![{\displaystyle \hom _{C}(c,a\times b)\cong \mathrm {Cone} (c,F)\cong \hom _{C}(c,a)\times \hom _{C}(c,b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef824328fb5d834902b32f91f6ba72bb0d9ba4e8)
onde
são as imagens de
nos dois objetos de
.
- objeto terminal quando
é vazia. A representação acima se reduz a:![{\displaystyle \hom _{C}(a,t)\cong \mathrm {Cone} (a,F)\cong \star ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e327e9159dc8a57bc5d7209fea024c0318ce662)
onde
é conjunto de exatamente um elemento.
- equalizador quando
(duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
- produto fibrado (ou pullback) quando
.
Dualmente, um colimite para
é chamado:
- coproduto quando
é discreta.
- objeto inicial quando
é vazia.
- coequalizador quando
.
- coproduto fibrado (ou pushout) quando
.[6][2][1]
Quando a categoria
é uma pré-ordem,
- o limite de um functor
é o ínfimo
.
- o colimite de um functor
é o supremo
.[7]
Uma categoria
é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena
, todo functor
tem limite. Dualmente,
é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor
tal que
é categoria pequena tem colimite.
Se
tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então
é completa. Com efeito, um limite de
é o domínio
do equalizador:
![{\displaystyle {\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd75ac1b52480c0b5243b4d76f55bc0dc709560)
em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo,
![{\displaystyle p_{(-)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b9ce310ab41abbb4bb55e717e36d5562156e4b)
denota as projeções dos produtos):
![{\displaystyle {\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506dd9ffe21c186f19c709549a73a7c9c7799b04)
e o cone limitante tem componentes
![{\displaystyle p_{i}\circ e:d\to F(i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca26edb8677bbbeac618649e2f4afddc2a338fe)
para cada
![{\displaystyle i\in J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578af5c8171c79890a88ff5d26749020c75a476b)
.
[8]
A categoria
dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor
:
![{\displaystyle \lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f67e1e9ae9900904c3efe9296a030278865a54)
![{\displaystyle \operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21eedb677479a107b8732e2eb2d822c816d2873)
onde
![{\displaystyle \sim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcc42adfcfdc24d5c4c474869e5d8eaa78d1173)
é a menor
relação de equivalência satisfazendo (abaixo,
![{\displaystyle \iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edebf07e59b9b9f654b112286a5f4310ee90d2e4)
denota as inclusões no
coproduto):
![{\displaystyle \iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408f54636fb833ea68268ac24b3dc328f0f2b129)
para cada
![{\displaystyle x\in F(j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d9bcafda037756a700bd3d95d36b1ea2204321)
e
![{\displaystyle u:j\to k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f401aa2d45ba44363cc5f2442bbedff6eea42f2)
.
[9][10]
O functor
tem adjunto direito se e só se
admite todos os limites indexados por
, e tem adjunto esquerdo se e só se
admite todos os limites indexados por
:
,
.
Neste caso,
, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores
.[11]
Um functor
:
- preserva os limites de
se e só se, para cada cone limitante
, também
é cone limitante.
- reflete os limites de
se e só se, para cada cone
tal que
é cone limitante, também
é cone limitante.
- cria os limites de um functor
tal que
tem limite se e só se
também tem limite, e
preserva e reflete os limites de
.[12]
- estritamente cria os limites de
se e só se, para cada cone limitante
, há único
e cone
tal que
, e ainda mais este
é cone limitante.[13]
(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.[14]) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.
Um functor
é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).
Os functores
são sempre contínuos.[15] Assim, têm-se isomorfismos:[16]
![{\displaystyle \hom _{C}(c,\lim F)\cong \lim(\hom _{C}(c,F(-)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b0cb022e893ec73848f77e2f39b24570839dd3)
![{\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \lim(\hom _{C}(F(-),c))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1991153e2f5a67023e2c89aa85b762e96a58a01)
Um limite de um functor F : J → CA existe precisamente quando cada functor Ea ∘ F : J → C tem limite (onde Ea : CA → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de Ea ∘ F para cada a ∈ A.[17]
Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor
- limj ∈ J F(–, j) : I → C,
que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.
Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo
- limi ∈ I limj ∈ J F(i, j) ≅ limj ∈ J limi ∈ I F(i, j).[18]
Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica"
- colimi ∈ I limj ∈ J F(i, j) → limj ∈ J colimi ∈ I F(i, j),
quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.[18]
Referências
- ↑ a b c (Mac Lane, §III.3)
- ↑ a b c (Mac Lane, §III.4)
- ↑ (Mac Lane, §III.3."colimits")
- ↑ a b (Riehl, §3.1)
- ↑ (Riehl, exercício 3.1.i)
- ↑ (Riehl, §3.1, págs. 77–81)
- ↑ (Riehl, Prefácio."A tour of basic categorical notions", pág. xiv)
- ↑ (Mac Lane, §V.1, §V.2)
- ↑ (Riehl, §3.2)
- ↑ «Limits and colimits by example – nLab». Consultado em 22 de fevereiro de 2020
- ↑ (Riehl, §4.5)
- ↑ «Created limit – nLab». Consultado em 16 de fevereiro de 2020
- ↑ (Riehl, §3.3)
- ↑ (Mac Lane, §V.1, definição)
- ↑ (Mac Lane, §V.4)
- ↑ (Riehl, §3.4)
- ↑ (Riehl, §3.3, proposição 3.3.9)
- ↑ a b (Riehl, §3.8)