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Fator automórfico

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Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL2(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.

Um fator automórfico de peso k é uma função

satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação e refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento é uma matriz 2x2

com números reais, satisfazendo .

Um fator automórfico deve satisfazer:

1. Para um determinado , a função é uma função holomorfa de .
2. Para todo e , tem-se
para um determinado número real k.
3. Para todo e , tem-se
Aqui, é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de por .
4.Se , então para todo e , tem-se
Aqui, I denota a matriz identidade.

Cada fator automórfico pode ser escrito como

com

A função é chamada um sistema multiplicador. Claramente,

,

enquanto, se , então

Desenvolvimentos

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São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.[1]

  • Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)
  1. Malladi Sitaramayya; On automorphic factors of a compact Riemann surface; Annali di Matematica Pura ed Applicata; Volume 96, Number 1 / December, 1973; DOI 10.1007/BF02414836 (em inglês)