Saltar para o conteúdo

Integração por partes

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:[1][2]

onde e são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

onde , , e .

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:

  • + C

onde escolheu-se e .

escolhendo e .

Demonstração

[editar | editar código-fonte]

Pela regra do produto, temos que:

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

Abrindo o u'(x) e v'(x):

Simplificando as integrais, ficamos com:

Conclui-se que:

Referências

  1. Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256 
  2. Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112586 
  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.