Cálculo |
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Cálculo integral
Definições
Integração por
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Em matemática, o teste de Dirichlet (referente a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas[1] que podem ser escritas na forma:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33)
onde as duas propriedades são verificadas:
para todo ![{\displaystyle N>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5e672f875388753faa233a18e9f2cf1275aaa4)
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{2}\geq \ldots \geq b_{n}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9833ce3a1f7a594eabc371d5b2be299c9119d7)
O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série
seja convergente.
Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que
, considere a série:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2059b88efa41630db2768d293b9784e6d460af5)
Defina
e
É claro que
é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )=\sin(N\theta )+{\dfrac {\sin((N-1)\theta )-\sin(N\theta )+\sin \theta }{2-2\cos \theta }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd52c16657eb178facfdfea501e693ab55ff514a)
a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.
Note-se que nem a série
nem a série
convergem; esta série não passa no Teste de Abel.
Sejam f e g funções satisfazendo:
é tal que a sua antiderivada F no intervalo
é limitada, ou seja,
.
.
.
Nestas condições:
converge.
Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:
![{\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx=\lim _{y\to \infty }\int _{a}^{+y}f(x)g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c71f2264fd0108cf079a0d402b4001595ce22b0)
Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5dd3fbe926d727432d625aa88dfaaecaa93e128)
mas
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin(x)|}{x}}dx=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8072ced993a40060656af4805d10022b74aa8d33)
Defina:
![{\displaystyle R_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n},~N>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61d17941b4e36343bb767dcca4c2cd7b794478b)
![{\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n},~N>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f965c05475a29fea9afd2365c6a0fb2515199feb)
![{\displaystyle R_{0}=S_{0}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084baba050016d033ea7f084bf38a88822518282)
Escreva para
:
![{\displaystyle S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(R_{n}-R_{n-1}\right)b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557131783eae8a7aa68706f1f83e41effb122678)
Trocando índices temos:
![{\displaystyle S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N}^{N+k-1}R_{n}b_{n+1}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)-R_{N}b_{N+1}+R_{N+k}b_{N+k+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b736a371b42506877b1d2f997d50354b629c84)
Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que
pela monotocidade.
![{\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}|R_{n}|\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+|R_{N}|b_{N+1}+|R_{N+k}|b_{N+k+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a474b67622864e0192a8fba77494ba854f9277)
Da primeira hipótese,
, e assim:
![{\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613b56e3d448e40014fc53ebf3846bd541bb58bb)
A soma telescópica pode ser simplificada:
![{\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\left(b_{N+1}-b_{N+k+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\leq 3Mb_{N+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5072adf0b1f55b4922d9e67cb096b4867e3808ed)
Como
, escolha
tal que:
![{\displaystyle 0\leq b_{n}\leq {\frac {\varepsilon }{3M}},\forall n>N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3b2ff3b05e314272dbd3d57f7281ca59f3bcde)
Conclui-se que:
![{\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \varepsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1592037523dbd1cfa0699b8a8060f7b8cc77938e)
E portanto
é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.
Para demonstrar o teorema de convergência de séries usa-se uma identidade conhecida como Soma por Partes.
Esta identidade é análoga à integração por partes, Definindo algumas notações:
Tem-se
e
onde
Então
Assim o
pois
é limitada e o
Tem-se ainda, por definição, que
é decrescente, logo
, o que torna a série
absolutamente convergente pois
é limitada, então
.
Então:
, com
não negativo.
=
, pois
=
onde aplica-se a soma telescópica.
Por comparação:
,onde
tende à zero, e portanto a série é absolutamente convergente, implicando que a série
é convergente.