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Cálculo integral
Definições
Integração por
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Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.
Pode ser apresentada como:
![{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {gf'-fg'}{g^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41221918d260b43aeb5517e673c1f9a92dade4fc)
ou, segundo a notação de Leibniz:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f95c781fbb557450468ac1dd5cf2bd288472c39)
Demonstração:
![{\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\ (I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e9c9bf85b9efa83790b47d0793acad585787c3)
Então
Pela regra do produto:
![{\displaystyle u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)\ (II)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bde11464bf18aba83a9cb63fe92b9a1855bfffd)
Utilizando (I) e (II), temos:
![{\displaystyle u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot v'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292318023dae0c038246ccb6120224e59d55237a)
![{\displaystyle u'(x)={\frac {f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}{v(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940fc44c04b6a1c9ea50ebccccc82ef3c60243f0)
![{\displaystyle u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6393ea2e6da693d06b343c98f8c76d8a124f30f6)
![{\displaystyle u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb438c826b1a38f57a6fa63c64ce81f0a0ddf37e)
![{\displaystyle {\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^{2}}}=f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c8c2dbf57396f05f0d2589a053f11b5325fd54)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f1b4b4d9a6df741c84f7e2f4a92c20f5af6b4c)