Saltar para o conteúdo

Usuário(a):MGromov/Testes47

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.



Página inicial: Testes

Edições completas: Mecânica estatística  • Modelo Hodgkin-Huxley  • Neurociência computacional  • Modelo probabilístico para redes neurais  • Teoria de campo médio  • Modelo FitzHugh–Nagumo  • Processo Lévy  • Cadeias de Markov  • Processo de Poisson  • Galves–Löcherbach model  • Stochastic chains with memory of variable length  • Lesão do plexo braquial  • Somatotopia  • Função densidade  • Modelos de grafos aleatórios exponenciais • Processo de Gram-Schmidt  • Equação de Chapman–Kolmogorov  • Predefinição:Processos estocásticos  • Algoritmo de autovalores  • Transição de fase  • Hipótese do cérebro crítico  • Critical brain hypothesis  • Passeio aleatório  • Plasticidade sináptica  • Potencial pós-sináptico excitatório  • Potencial pós-sináptico inibitório  • Modelo de Morris-Lecar  • Plexo braquial  • Processo gaussiano  • Campo aleatório de Markov  • Eletroencefalografia  • Modelo de Hindmarsh-Rose  • Sistemas de partícula em interação  • Medida de Gibbs  • Nervo escapular dorsal  • Nervo radial  • Nervo peitoral lateral  • Nervo musculocutâneo  • Medida de Dirac  • Nervo torácico longo  • Sigma-álgebra  • Nervo peitoral medial  • Nervo ulnar  • Potencial evocado  • Estimulação magnética transcraniana repetitiva  • Teorema de Donsker  • Desigualdade de Boole  • Codificação neural  • Aprendizado de máquina  • Independência condicional  • Inferência estatística  • Nervo subclávio  • Nervo supraescapular  • Nervo mediano  • Nervo axilar  • Movimento browniano geométrico  • Caminho autoevitante  • Tempo local  • Nervo subescapular superior  • Nervo toracodorsal  • Nervo subscapular inferior  • Caminho (teoria dos grafos)  • Campo aleatório  • Lei do logaritmo iterado

Edições em andamento: Nervo cutâneo medial do braço (N)  • Nervo cutâneo medial do antebraço (N)  • Cérebro estatístico (N)  • Statistician brain  • Distribuição de probabilidade condicional (N)  • Esperança condicional (N)  • Integral de Itō (N)  • Martingale  • Variação quadrática (N)  • Processo Ornstein–Uhlenbeck  • Ruído branco  • Teoria ergódica  • Avalanche neuronal (N)  • Teoria da percolação (N)  • Função totiente de Euler  • Ruído neuronal (N)  • Distribuição de Poisson  • Córtex cerebral  • Estímulo (fisiologia)




Referência: Donsker's theorem

Em teoria da probabilidade, o teorema de Donsker (também conhecido como princípio da invariância de Donsker, ou teorema central do limite funcional), em homenagem ao matemático Monroe D. Donsker, é uma extensão funcional do teorema central do limite.

Definição formal

[editar | editar código-fonte]

Seja  uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média 0 e variância 1. Seja . O processo estocástico é conhecido como um passeio aleatório. Definindo o passeio aleatório escalado por

O teorema central do limite afirma que  converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana padrão  conforme . O princípio da invariância de Donsker[1][2] extende essa convergência para toda a função . Mais precisamente, em sua forma moderna, o princípio da invariância de Donsker afirma que: com variáveis aleatórias tomando valores no espaço de Skorokhod , a função aleatória  converge em distribuição para um movimento browniano padrão  conforme

Seja Fn a função distribuição empírica da sequência das variáveis aleatórias i.i.d.  com função de distribuição F. Definindo a versão centrada e reduzida de Fn por

indexadas por xR. Pelo teorema central do limite clássico, para x fixo, a variável aleatória Gn(x) converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana normal G(x), com média zero e variância de F(x)(1 − F(x)) conforme o tamanho da amostra n cresce.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) A sequência de Gn(x), como elementos aleatórios do espaço de Skorokhod , converge em distribuição para um processo gaussiano G com média zero e covariância dada por

O processo G(x) pode ser escrito como B(F(x)), onde B é uma ponte browniana padrão no intervalo unitário.

Em 1933, Kolmogorov mostrou que, quando F é contínuo, o supremo  e o supremo de valor absoluto, converge em distribuição para as leis dos mesmos funcionais da ponte browniana B(t). Doob, em 1949, perguntou se a convergência em distribuição se mantinha para funcionais mais gerais, assim formulando um problema de convergência fraca de funções aleatórias em um espaço de função adequado.[3]

Em 1952, Donsker afirmou e provou, apesar de com falhas,[4] uma extensão geral para a abordagem heurística de Doob-Kolmogorov. No artigo original, Donsker provou que a convergência na lei de Gn para a ponte browniana se mantém para distribuições uniformes [0,1] com relação à convergência uniforme em t sobre o intervalo [0,1].[2]

No entanto, a formulação de Donsker não estava totalmente correta, por conta do problema da mensurabilidade dos funcionais de processos descontínuos. Em 1956, Skorokhod e Kolmogorov definiram uma métrica separável d, chamada métrica de Skorokhod, no espaço de funções càdlàg em [0,1], tal que a convergência para d para uma função contínua é equivalente a convergência para o supremo da norma, e mostrou que Gn converge na lei em  para a ponte browniana.

Mais tarde, Dudley reformulou o resultado de Donsker para evitar o problema de mensurabilidade e a necessidade da métrica de Skorokhod. Pode-se provar[4] que existe Xi, i.i.d. uniforme em [0,1] e uma seqüência de pontes brownianas Bn de amostragem contínua, tais que

é mensurável e converge em probabilidade para 0. Uma versão melhorada deste resultado, que fornece mais detalhes sobre a taxa de convergência, é a aproximação de Komlós–Major–Tusnády.

  1. Donsker, M.D. (1951). «An invariance principle for certain probability limit theorems». Memoirs of the American Mathematical Society, 1951, no. 6 
  2. a b Donsker, M. D. (1952). «Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 23: 277–281. MR 47288. Zbl 0046.35103. doi:10.1214/aoms/1177729445 
  3. Doob, Joseph L. (1949). «Heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 20: 393–403. MR 30732. Zbl 0035.08901. doi:10.1214/aoms/1177729991 
  4. a b Dudley, R.M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46102-2 

Categoria:Estatística Categoria:Probabilidade Categoria:Processos estocásticos