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Axioma da união

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Na teoria dos conjuntos, o axioma da união é aquele que garante a existência de uniões (finitas ou infinitas) de outros conjuntos.

Nestas teorias em que os elementos são conjuntos, o axioma da união diz que existe um conjunto que é a "união" (com significado explicado logo a seguir) dos seus elementos.

Ou seja, seja A um conjunto. Então existe um conjunto B (chamado de ) tal que:

  • todo X, que é elemento de A, é subconjunto de B
  • todo Y, que é elemento de B, é elemento de algum elemento de A

Neste axioma, A pode ser vazio, finito ou infinito. Respectivamente, B será o conjunto vazio, uma união finita e uma união infinita.

Um axioma semelhante sobre interseções não existe, porque não é possível definir uma interseção vazia ( é algo como o conjunto de todos os conjuntos).

Definição formal

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Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, este axioma é:

A definição acima implica (pelo axioma da extensão) que B é único; existem outras formas equivalentes deste axioma, em que o conjunto cuja existência é postulada é um superconjunto da união. Nestes casos, para se obter a união é preciso aplicar o axioma da substituição para a propriedade .

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