Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio
e uma relação binária
sobre
que satisfaz a condição de que para todo
existe
para o qual
, existe uma seqüência
de elementos de
tal que
para todo
. Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos
![{\displaystyle \forall A\left((\exists R\left(R\subseteq A\times A\wedge \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R))\right)\rightarrow \exists \langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }(\forall i(i\in \omega \rightarrow \langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R)))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f65ed70c31099aaa9de368a20ba1c1f6813e46)
O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja
um conjunto não-vazio e
uma relação binária sobre
satisfazendo
![{\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682f4fa6602ffa5c49bc2ed1e94b8cfeb3d6d402)
Dado
, defina
; da hipótese, temos
. Tome a família
, admitindo o axioma da escolha, existe uma função
![{\displaystyle f:A\to \bigcup _{x\in A}r(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba8b783c60fafa032b9c13d44db965822a25658)
satisfazendo
para cada
. É evidente, portanto, que
satisfaz
para todo
e todo
.
Porém, DC não implica o axioma da escolha[1] , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC
; com efeito seja
uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina
![{\displaystyle S_{n}=\{s\in (\bigcup _{k=0}^{n}A_{k})^{n}:\pi _{i}(s)\in A_{i},\forall i\leq n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503dcc8373b4998c170fade39e01f8e14cc461f1)
Onde
é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também
![{\displaystyle S=\bigcup _{n\in \omega }S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99924ed00bea09ab06e2f03c97ee0c0e76419e09)
Assim, seja
tal que, dados
,
se, e somente se, existir
para o qual tenhamos
,
e
para todo
, isto é
![{\displaystyle \forall s\forall t(((s\in S)\wedge (t\in S))\rightarrow (\langle s,t\rangle \in R\leftrightarrow \exists n((n\in \omega )\wedge (s\in S_{n})\wedge (t\in S_{n+1})\wedge (\forall i(i\in n\cup \{n\}\rightarrow (\pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)\,)))))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfef6a3aeb4bd32830d165923e811f96a35b39e)
É evidente que
satisfaz
![{\displaystyle \forall x(x\in S\rightarrow \exists y(y\in S\wedge \langle x,y\rangle \in R)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfa58d5aa58073e0ae9597810164a54f65ed51d)
Portanto, existe uma seqüência
tal que
![{\displaystyle \langle s_{i},s_{i+1}\rangle \in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555bbdb88704d9f65ad4efca4c3217b91b2a7945)
para todo natural
. Basta agora definir
por
. É evidente que
é uma função escolha em
.
Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire [2]. De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 [3] que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é
![{\displaystyle ZF+DC\leftrightarrow ZF+({\text{Teorema de Baire}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0835385d207024ca428746fc3330fd4da7dc18c1)
Referências
- ↑ Thomas Jech, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN-13: 978-0486466248.
- ↑ Ambos não prováveis em ZF; ver Consequences of the Axiom of Choice Arquivado em 13 de fevereiro de 2012, no Wayback Machine., forma 78.
- ↑ Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933--934.
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.