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Cardinal limite

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Em matemática, os cardinais limites são certos números cardinais.[1] Um número cardinal λ é um cardinal de limite fraco se λ não é um cardinal sucessor nem zero. Isso significa que não se pode "alcançar" λ de outro cardinal por operações sucessivas repetidas.[2] Esses cardinais às vezes são chamados simplesmente de "cardenais limitados" quando o contexto é claro.[3]

Um cardinal λ é um cardinal de limite forte se não puder ser alcançado por operações repetidas do conjunto de potência.[4] Isso significa que λ é diferente de zero e, para todos κ < λ, 2κ < λ. Todo cardinal com limite forte também é um cardinal com limite fraco, porque κ+ ≤ 2κ para todo cardinal κ, onde κ+ denota o cardinal sucessor de κ.

O primeiro cardinal infinito, (Aleph-zero), é um cardinal de limite forte e, portanto, também é um cardinal de limite fraco.[5]

Construções

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Uma maneira de construir cardinais de limite é através da operação de união: é um cardinal de limite fraco, definido como a união de todos os alephs antes dele; e em geral para qualquer ordinal limite λé um cardinal de limite fraco.

A operação ב pode ser usada para obter cardinais de limite forte. Esta operação é um mapa de ordinais para cardinais definidos como[6]

(o menor ordinal equipotente com o conjunto de potência)
Se λ é um ordinal limite,

O cardinal

é um cardinal de limite forte de cofinalidade ω. Em geral, dado qualquer α ordinal, o cardinal

é um cardinal de limite forte. Assim, existem cardinais de limite forte arbitrariamente grandes.

Referências

  1. «Infinite Ink: Cardinal Numbers». www.ii.com. Consultado em 1 de novembro de 2019 
  2. «logic - How many weak/strong limit cardinals exist under different assumptions?». Mathematics Stack Exchange. Consultado em 1 de novembro de 2019 
  3. Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to Set Theory, ISBN 0-8247-7915-0 3 ed.  
  4. Marshall, J. J. (2011). «Ramsey Theory: From Finite to Infinite» (PDF). Department of Mathematics Washington University in St. Louis 
  5. Jackson, Stephen C. «Cardinals» (PDF). Mathematics department at the University of North Texas. 
  6. A. C. Walczak-Typke. Axiomatic Set Theory. [S.l.: s.n.] 
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