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Conjunto

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Conjunto é um conceito-chave primitivo[nota 1] do ramo matemático da Teoria dos Conjuntos.[1] A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.[2]

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. [3]

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática

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É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:

  1. extensão: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
  2. compreensão: definindo uma propriedade[4] de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
  3. representação gráfica: usando Diagramas de Venn.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo: Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.[2] O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

ou ainda:

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais

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  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se é um elemento do conjunto podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever


Subconjuntos próprios e impróprios

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Diagrama de Venn para
Ver artigo principal: Subconjunto

Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que e possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (, é equivalente a e ). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por . Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio

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Ver artigo principal: Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos ou . Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação , pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um conjunto unitário. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por ou .

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade

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Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem elementos, onde é um número natural (incluindo o 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com cardinalidade, ou número cardinal .

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0),

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por . Se para dois conjuntos e é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então

Conjunto potência ou das partes

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Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de , denotado por O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado finito, com elementos, prova-se que o número de subconjuntos, isto é, o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de é ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de é igual a Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de e o conjunto é usual representar-se por

O Teorema de Cantor estabelece que

Produto cartesiano

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Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

Operações com conjuntos

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De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação Operador Definição Exemplo
União A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos ou ou a ambos. A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos . A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por .
Interseção A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e . A definição formal da interseção é .
Complementar ou O complemento (ou ) de um conjunto se refere aos elementos que não estão no conjunto . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto universo , isto é, o complemento de em relação a . É o mesmo que . O conjunto é formado pelos elementos de que não pertencem a , formalmente definida por
Diferença ou A diferença (ou ) entre dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem a e que não pertencem a A diferença entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por .

Em uma expressão que envolve mais de dois conjuntos, deve-se seguir um conjunto de regras[5] para estabelecer a ordem de execução das operações:

  1. Da mesma forma que com números, faz-se primeiramente o que está entre parênteses. Se houver mais de um conjunto de parênteses, resolve-se de dentro para fora;
  2. Em seguida, calcula-se os complementos;
  3. As operações de união, interseção e diferença possuem a mesma prioridade. Desta forma, deve-se utilizar parênteses para indicar qual operação deve ser executada primeiro. Dito isso, uma expressão como não possui solução definida, visto que .

Conjuntos compostos por números

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Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  3. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  4. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  5. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo ou a operação usualmente representa este conjunto.
  6. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  7. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo ou a operação usualmente representa este conjunto.
  8. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
  9. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  10. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: O símbolo usualmente representa este conjunto.
  11. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: O símbolo usualmente representa este conjunto.
  12. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  13. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz e Os números complexos hiperbólicos são da forma Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  14. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
  15. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
  16. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.
Wikilivros
Wikilivros
O wikilivro Matemática elementar tem uma página intitulada Conjuntos

Referências

  1. Iezzi, Gelson, 1939- (2013). Fundamentos de matemática elementar. Conjuntos e Funções. v. 1. São Paulo: Atual. pp. 18–19. ISBN 9788535716801. OCLC 940080590. Consultado em 27 de janeiro de 2020 
  2. a b LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2. ISBN 9788524401183
  3. Conjuntos
  4. Menezes, Paulo Blauth (2008). Matemática Discreta para Computação e Informática 2ª ed. Porto Alegre: Bookman. p. 3, 38-39. ISBN 978-85-7780-269-2 
  5. Wladis, Claire. «Compound operations on sets». Math 100 Online. Página inicial do curso: http://www.cwladis.com/math100/begincourse.html. Consultado em 12 de setembro de 2020 

Notas

  1. Conceito primitivo: axioma, abstração, noção aceita sem definição absoluta
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