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Equação diferencial de Bernoulli

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 Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja Equação de Bernoulli.

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

(0.1)

onde é um qualquer número real. Para e esta equação diferencial não é linear.

Desenvolvimento

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Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por

(0.2)

Seja agora

Derivando obtemos

Multiplicando ambos membros de (0.2) por fica

(0.3)

Ou seja,

(0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, e contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir por

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

(0.5)

Dividindo ambos os membros por fica

(0.6)

Pondo

A equação (0.6) é equivalente a

(0.7)

Substituindo por vem

(0.8)

Usando a notação anterior,

e

onde

e

A solução geral de (0.8) é dada por

ou seja,

(0.9)

Para (0.9) é equivalente a

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

Substituindo por vem

ou ainda,

  • Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, ISBN 978-3-540-56670-0, Berlin, New York: Springer-Verlag .

Ligações externas

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