Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma
![{\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5c703737b29b531171ed59fc61b8e19dec94cb)
sendo
e ![{\displaystyle u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7c5b9f73fa78258800e490a63aa5c69bca673a)
nas vizinhanças do ponto singular regular
. Dividindo a expressão por
, obtém-se a seguinte equação diferencial:
![{\displaystyle u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ea866ba997d4285d0982d6b1ca3d9f2cfb1d11)
que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z2 não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos).
O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma:
![{\displaystyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066e81d8e986e5c4c6a0d620e1872050fbe2000a)
Diferenciando em relação a
![{\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e10ab169a25baf1c39bb544f618ee6500f067f)
![{\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00a1939f6abf1607bb7ec90122e9635d55eeab7)
Substituindo na equação (1):
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u\\&=z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}]+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r)A_{k}z^{k+r}]+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }[A_{k}z^{k+r}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }([(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}]+p(z)[(k+r)A_{k}z^{k+r}]+q(z)[A_{k}z^{k+r}])\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)]A_{k}z^{k+r}\\0&=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312db773ef7de215049475ff216d483b981a313b)
A expressão
é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em
Usando isto, a expressão geral do coeficiente
é dada por:
![{\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81048bac42cf33d55f33988d7c8301e63a325177)
Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita:
![{\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0002242da9d79adfb3262ec15ca7e5e160156ab)
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=-I(k+r)A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14871dd2fc20b5c1c8c26153dbdd2ad4acac0495)
![{\displaystyle {1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab72bdac9210d4876067a5e53de3f293b0947916)
A série formada pelos
Ak acima,
![{\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af0279517f1fdd5143a56a950c9bd09c8d1d09d)
satisfaz
![{\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9320c89c9bf2ddbd3031a41bc7dc5247d7ad1e8c)
Se
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raízes do polinômio indicial não é um
número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para
(1).
Os pontos singulares da equação diferencial
são os pontos
onde
Se os seguintes limites existem[1]:
diz-se que o ponto
é um ponto singular regular.
Se
for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma
solução da forma
A função
é analítica em
e podemos
admitir, sem perder nenhuma generalidade, que
é diferente de zero (se
for nula, fatoriza-se
e redefinem-se
e
ficando
diferente de zero). [1]
Isso implica que a constante
seja também diferente
zero:
As derivadas
e
são
Para calcular o valor do índice
primeiro observamos que
a seguir multiplicamos a equação diferencial por
e dividimos por P
No limite
e usando as constantes
e
definidas acima
Das equações obtemos:
Como
é diferente de zero,
deverá ser solução da chamada
equação indicial:
Para cada raiz real
da equação indicial substituímos as
séries para
e
na equação diferencial e
procedemos da mesma forma que no método das séries, para
calcular os coeficientes
[1]
Cada raiz conduz a uma
solução; se as duas soluções forem diferentes, a
solução geral será a combinação linear das
duas.
Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries
de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma
solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por
meio de séries de potências.
teorema Frobenius
Se
e
são duas raízes da equação indicial (em
) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em
existem três casos, a depender dos valores de
e
- Se
for diferente de zero e diferente de um número inteiro,
cada raiz conduz a uma solução diferente.
- Se
é possível obter uma única solução
a partir do
método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:
onde a sucessão
deverá ser obtida por substituição de
na
equação diferencial.[1]
- Se
for um número inteiro, existirá uma solução
com a
forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:
onde
é uma constante.[1]
Nos casos em que
a segunda solução tem
também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o
método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções
e
linearmente independentes.
Quando
não é nula, o método de Frobenius
permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser
encontrada por substituição da forma geral de
na equação
diferencial.[1]
Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de
Frobenius, a solução geral será:
Em alguns casos as condições fronteira exigem que
seja finita na origem o
qual implica
se
ou
já que nos dois casos a
segunda solução é divergente na origem.[1]
Se
é um inteiro e o método
de Frobenius conduz a uma única solução
será também nula e não
será preciso calcular
Referências