Conjetura de Goldbach

A conjetura de Goldbach, proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, é um dos problemas mais antigos não resolvidos da matemática, mais precisamente da teoria dos números.

Ela diz que todo número par maior que 2 pode ser representado pela soma de dois números primos.

Por exemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; etc.

Verificações por computador já confirmaram a conjetura de Goldbach para muitos números. No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.

O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995: todo número par é a soma de no máximo 6 números primos.

Origem[editar | editar código-fonte]

Em 7 de junho de 1742, o matemático prussiano Christian Goldbach escreveu uma carta a Leonhard Euler (carta XLIII) [2], onde ele propôs a seguinte conjetura:

Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 3 números primos.
— Goldbach em carta a Euler

Ele considerava o número 1 como sendo primo, que uma convenção posterior (e presente até hoje) abandonou. Uma visão moderna da conjetura é:

Todo inteiro par maior que 5 pode ser escrito como a soma de 3 números primos.

Euler respondeu em uma carta de 30 de junho de 1742 e lembrou Goldbach de uma conversa anterior que eles tiveram ("…so Ew vormals mit mir communicirt haben…"), na qual Goldbach observou que sua conjectura seguia da seguinte declaração

Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 2 números primos.
— Euler lembrando numa carta as palavras de Goldbach

sendo esta, então, também uma conjectura de Goldbach. Euler adicionou, ainda, que estava absolutamente certo sobre essa última conjectura, mas que não era capaz de prová-la.

A última versão aqui descrita é a mais conhecida e divulgada atualmente, também a mais aceita, por ser mais simples e abrangente.

Também é conhecida como a conjetura "forte" de Goldbach, distinta de seu corolário mais fraco. A conjectura forte de Goldbach implica a conjetura que todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primos, que é conhecida atualmente como a conjetura "fraca" de Goldbach. Enquanto a conjetura fraca de Goldbach parece ter sido provada em 2013,^[1]^[2] a conjetura mais forte permanece sem solução.

Resultados numéricos[editar | editar código-fonte]

Para valores pequenos de n, a conjetura de Goldbach pode ser testada diretamente (método conhecido jocosamente pelos matemáticos como força bruta e ignorância^[3]).

Em 1938, N. Pipping testou todos os números até 10⁵.

Tomás Oliveira e Silva já testou todos os números até 4*10¹⁷ ^[4]

Solução da Conjectura de Goldbach[editar | editar código-fonte]

Com exceção dos números pares $4,6,8$ os outros números $10,12,14,16,...$ podem ser escritos como a soma de dois números da forma 6K±1, sendo que os dois números podem ser primos, ou não, ou pode acontecer de termos apenas um número primo e outro composto.

Então temos três séries de números pares:

1) Série com $N\equiv 0{\bmod {6}}$ onde temos os números pares $12,18,24,...$ que representam a soma de um número da forma $6K_{1}+1$ ,

com um outro número da forma $6K_{2}-1$

2) Série com $N\equiv 2{\bmod {6}}$ onde temos os números pares $14,20,26,..$ que representam a soma de um número da forma $6K_{1}+1$ com

um outro número da forma $6K_{2}+1$

3) Série com $N\equiv -2{\bmod {6}}$ onde temos os números pares $10,16,22,...$ que representam a soma de um número da forma $6K_{1}-1$ com um outro número da forma $6K_{2}-1$

Prova para a série de números da forma $N\equiv 0{\bmod {6}}$ .

O primeiro número para esta partição é o número $12=7+5=(6K_{1}+1)+(6K_{2}-1)$ ,

Façamos a divisão $12/6=2$ , neste caso temos apenas uma partição, ou seja o número de partições é dado pela fórmula $P=N/6-1$ logo para $N=12,18,24,30,...$ temos $P=1,2,3,4,5,...$ então vemos que o número de partições será o número máximo de possibilidade de que todas elas sejam soluções para a Conjectura de Goldbach. Vamos chamar de $S$ o número de soluções para um dado número par $N$ .

No nosso primeiro caso $P=S=1$ para $N=18\rightarrow N/6=3\rightarrow P=3-1=2\rightarrow S=2$

No nosso primeiro caso a relação $S/P=1$ para ${\textstyle n=12\rightarrow S/P=1}$ o que significa que todas as partições possíveis são soluções.

Para visualização de todas as possibilidades e soluções vamos considerar uma tabela onde os valores de $K_{1}$ estarão colocados nas colunas na sequência $1,2,3,....$ da esquerda para a direita e os valores de $K_{2}$ estarão colocados nas linhas na sequência de cima para baixo.

Então nesta tabela cada célula será o cruzamento de uma coluna com uma fila sendo que a coluna traz o valor de $K_{1}$ que indicaremos acima de uma pequena diagonal descendente da esquerda para a direita colocada em cada célula.

A fila traz o valor de $K_{2}$ que indicaremos na parte inferior da diagonal colocada na célula.

Para facilitar a visualização os valores de $K_{1}$ onde o número $6K_{1}+1$ for um número composto, serão indicados em negrito em todas as células daquela coluna.

Repetiremos este processo para os valores de $K_{2}$ onde o número $6K_{2}-1$ for composto, serão indicados em negrito em todas as células daquela fila.

Desta forma saberemos que toda célula que apresentar ao menos um valor em negrito não representa uma partição válida para a Conjectura de Goldbach.

Para um dado valor de $N$ , todas as partições possíveis estarão compreendidas nas células que formam a diagonal ascendente iniciada na célula que representa o cruzamento da primeira coluna onde $K_{1}=1$ com a fila onde $K_{2}=(N/6-1)$ até a célula que representa o cruzamento da primeira fila onde $K_{2}=1$ com a coluna onde $K_{1}=(N/6-1)$ .

Então observamos que o número de partições possíveis $P=N/6-1$ e o número de partições que satisfazem a Conjectura de Goldbach serão formadas pelas células da diagonal citada que não tenha nenhum dos dois números em indicados em negrito.

Observamos também que o quadrado formado pelo eixo horizontal , pela fila com $K_{2}=N/6-1$ , pelo eixo vertical e pela coluna $K_{1}=N/6-1$ , possui todas as células inferior a diagonal citada como participantes das partições possíveis para os números pares compreendidos entre $N$ até $2N$ .

Com este fato colocado só podemos afirmar que não existe número par com ao menos uma partição que satisfaça a Conjectura de Goldbach , a partir do número par $2N+2$ .

Isto implica na contradição pois teríamos ai o conflito com o Teorema dos Números Primos, pois estamos impondo que a quantidade dos números primos abaixo do número $N$ seja igual a quantidade dos números primos abaixo do número $2N$ .

Observamos que a medida que vamos tomando valores maiores para $N$ vamos tendo uma curva assintótica para a relação $S/P$ , porém o aumentando se o valor de $S=N/\ln N$ , a medida que se aumenta $N$ .

Para os valores pares $N\equiv 6{\bmod {2}}$ , e $N\equiv 2{\bmod {-}}6$ a demonstração é similar.

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Ver também[editar | editar código-fonte]

Conjectura fraca de Goldbach

Referências

↑ Helfgott, H.A. (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem». arXiv:1305.2897 [math.NT]
↑ Helfgott, H.A. (2012). «Minor arcs for Goldbach's problem». arXiv:1205.5252 [math.NT]
↑ Jeffrey Stopple, Exercises on binary quadratic forms [1]
↑ Goldbach conjecture verification, acesso em 06/12/2014

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[Helfgott_2013-1] Helfgott, H.A. (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem». arXiv:1305.2897 [math.NT]

[Helfgott_2012-2] Helfgott, H.A. (2012). «Minor arcs for Goldbach's problem». arXiv:1205.5252 [math.NT]

[3] Jeffrey Stopple, Exercises on binary quadratic forms [1]

[4] Goldbach conjecture verification, acesso em 06/12/2014

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v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
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