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Problema de matemática em aberto :
Sempre existe ao menos um número primo entre x(x+1) e x²?
A Conjectura de Oppermann é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos .[ 1] É intimamente ligada, mas mais forte que as conjecturas de Legendre , Andrica e Brocard . Tem esse nome devido a Ludvig Oppermann , que a propôs em 1882 .[ 2]
A conjectura afirma que, para todo (
∀
{\displaystyle \forall }
) número inteiro
x
>
1
{\displaystyle x>1}
, existe ao menos um número primo entre
x
(
x
−
1
)
{\displaystyle x(x-1)}
e
x
2
{\displaystyle x^{2}}
,
e ao menos outro número primo entre
x
2
{\displaystyle x^{2}}
e
x
(
x
+
1
)
{\displaystyle x(x+1)}
.
Pode ser enunciado de forma equivalente utilizando a função de contagem de números primos .[ 3] Ou seja:
π
(
x
2
−
x
)
<
π
(
x
2
)
<
π
(
x
2
+
x
)
{\displaystyle \pi ({x^{2}-x})<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)}
para
x
>
1
{\displaystyle x>1}
com
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
sendo a quantidade números primos menores ou iguais a x .
Se a conjectura for verdadeira, então a diferença entre dois primos consecutivos pode ser ordenada por
g
n
<
p
n
{\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,}
.
O que significa que pode haver ao menos dois primos entre x 2 e (x + 1)2 (um no intervalo entre x 2 e x (x + 1) e o segundo no intervalo entre x (x + 1) e (x + 1)2 ), provando a conjectura de Legendre que diz que há ao menos um primo no intervalo.
A conjectura também implica que ao menos um número primo pode ser encontrado em cada revolução da Espiral de Ulam .
Mesmo para pequenos valores de x , a quantidade de números primos no intervalo é muito maior que 1, fornecendo fortes indícios de que a conjectura seja de fato verdadeira. Apesar disso, nenhuma demonstração matemática analítica foi apresentada até o fim de 2016..[ 1]
Referências
↑ a b Wells, David (2011), Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math , ISBN 9781118045718 , John Wiley & Sons, p. 164 .
↑ Oppermann, L. (1882), «Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser» , Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og dets Medlemmers Arbejder : 169–179
↑ Ribenboim, Paulo (2004), The Little Book of Bigger Primes , ISBN 9780387201696 , Springer, p. 183 .
Por fórmula
Fermat
(
2
2
n
+
1
)
{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}
Mersenne
(
2
p
−
1
)
{\displaystyle (2^{p}-1)}
Duplo de Mersenne
(
2
2
p
−
1
−
1
)
{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}
Wagstaff
(
2
p
+
1
)
3
{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}
Proth
(
k
⋅
2
n
+
1
)
{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}
Factorial
(
n
!
±
1
)
{\displaystyle (n!\pm 1)}
Primorial
(
p
n
#
±
1
)
{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}
Euclides
(
p
n
#
+
1
)
{\displaystyle (p_{n}\#+1)}
Pitagórico
(
4
n
+
1
)
{\displaystyle (4n+1)}
Pierpont
(
2
u
⋅
3
v
+
1
)
{\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}
Solinas
(
2
a
±
2
b
±
1
)
{\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}
Cullen
(
n
⋅
2
n
+
1
)
{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}
Woodall
(
n
⋅
2
n
−
1
)
{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}
Cubano
(
x
3
−
y
3
)
(
x
−
y
)
{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}
Carol
(
2
n
−
1
)
2
−
2
{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}
Kynea
(
2
n
+
1
)
2
−
2
{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}
Leyland
(
x
y
+
y
x
)
{\displaystyle (x^{y}+y^{x})}
Thabit
(
3
⋅
2
n
−
1
)
{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}
Mills (chão
(
A
3
n
)
{\displaystyle (A^{3^{n}})}
)
Por sequência de inteiros Por propriedade Dependentes de bases Padrões
Gémeos
(
p
,
p
+
2
)
{\displaystyle (p,p+2)}
Tripla
(
p
,
p
+
2
o
u
p
+
4
,
p
+
6
)
{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}
Quádrupla
(
p
,
p
+
2
,
p
+
6
,
p
+
8
)
{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}
Tuplo
Primos primos
(
p
,
p
+
4
)
{\displaystyle (p,p+4)}
Sexy
(
p
,
p
+
6
)
{\displaystyle (p,p+6)}
Chen
Sophie Germain
(
p
,
2
p
+
1
)
{\displaystyle (p,2p+1)}
Cadeia de Cunningham
(
p
,
2
p
±
1
,
…
)
{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}
Seguro
(
p
,
(
p
−
1
)
2
)
{\displaystyle (p,{\frac {(p-1)}{2}})}
Progressão aritmética
(
p
+
a
⋅
n
,
n
=
0
,
1
,
…
)
{\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}
Equilibrado (consecutivos
p
−
n
,
p
,
p
+
n
)
{\displaystyle p-n,p,p+n)}
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