Conjectura fraca de Goldbach

Em teoria dos números, a conjectura fraca de Goldbach afirma que:

Todo número ímpar maior que 7 pode ser expresso como soma de três números primos ímpares.

Ou de forma equivalente:

Todo número ímpar maior que 5 pode ser expresso como soma de três números primos. (Sendo que é possível usar o mesmo número primo mais de uma vez nessa soma.)

Esta conjectura recebe o nome de "fraca" porque a conjectura forte de Goldbach sobre a soma de dois números primos, se demostrada, demonstraria automaticamente a conjectura fraca de Goldbach. Isto porque se cada número par maior que 4 é a soma de dois primos ímpares, se pode somar 3 aos números pares maiores que 4 para produzir os números ímpares maiores que 7.

Resultados Parciais[editar | editar código-fonte]

Em 1923, Godfrey Harold Hardy e John Edensor Littlewood mostraram que, assumindo a Hipótese generalizada de Riemann, a conjectura fraca de Goldbach é verdadeira para todos números ímpares suficientemente grandes. Em 1937, o matemático Ivan Matvéyevich Vinogradov eliminou a dependência da hipótese de Riemann e provou diretamente que todos os números impares suficientemente grandes podem ser expressos como soma de três primos.

No entanto Vinogradov não pôde determinar com exatidão o que significava "suficientemente grande", seu aluno K. Borodzin demonstrou que 3^14.348.907 é um cota superior para o conceito de "suficientemente grande". Este número tem 6.846.169 dígitos, assim mostrar a conjectura em cada número menor que esta cota seria inviável com a tecnologia atual.

Em 2002, Liu Ming-Chit (Universidade de Hong Kong) e Wang Tian-Ze abaixaram essa cota para aproximadamente $n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$ . O expoente continua muito grande para uma verificação computacional de todos os números menores. Pesquisas por computador têm apenas alcançado $10^{18}$ para a conjectura forte, e não mais que isso para a conjectura fraca. Contudo, esta limitação é pequena que qualquer ímpar sozinho abaixo do limite pode ser verificado por testes de primalidade como testes de primalidade com curvas elípticas, que mostram uma prova de primalidade e têm sido usadas em números com mais de 26.643 dígitos.^[1]

Em 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev mostraram^[2] que a Hipótese generalizada de Riemann implica a conjectura fraca de Goldbach para todos os números. Este resultado combinou uma afirmação válida para números maiores que 10²⁰ com uma extensiva pesquisa computacional de casos pequenos.

Leszek Kaniecki mostrou, assumindo a Hipótese de Riemann, que todo ímpar é a soma de no máximo cinco primos.^[3]

Solução[editar | editar código-fonte]

Em 2012 e 2013, o matemático peruano Harald Helfgott publicou dois trabalhos alegando ter comprovado incondicionalmente a conjectura fraca de Goldbach.^[4]^[5]^[6] Em 2015, ganhou o Prêmio de Pesquisa Humboldt, concedido pela Fundação Alexander Van Humboldt.^[7]

Referências

↑ N. Lygeros, F. Morain, O. Rozier. http://www.lix.polytechnique.fr/~morain/Primes/myprimes.html Em falta ou vazio |título= (ajuda)
↑ Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev (1997). «A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis» (PDF). Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 3: 99–104. doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0
↑ Kaniecki, Leszek (1995), «On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis», ACTA ARITHMETICA, 4, pp. 361–374
↑ Helfgott, H.A. (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem». arXiv:1305.2897 [math.NT]
↑ Helfgott, H.A. (2012). «Minor arcs for Goldbach's problem». arXiv:1205.5252 [math.NT]
↑ «Peruano resolve problema matemático indecifrável havia 271 anos». Terra. 24 de maio de 2013. Consultado em 24 de maio de 2013
↑ http://www.humboldt-professur.de/en/preistraeger/preistraeger-2015/helfgott-harald-andres

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Deshouillers, Effinger, Te Riele y Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol 3, pp. 99-104 (1997). Disponible en http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf

[1] N. Lygeros, F. Morain, O. Rozier. http://www.lix.polytechnique.fr/~morain/Primes/myprimes.html Em falta ou vazio |título= (ajuda)

[2] Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev (1997). «A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis» (PDF). Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 3: 99–104. doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0

[3] Kaniecki, Leszek (1995), «On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis», ACTA ARITHMETICA, 4, pp. 361–374

[4] Helfgott, H.A. (2013). «Major arcs for Goldbach's theorem». arXiv:1305.2897 [math.NT]

[5] Helfgott, H.A. (2012). «Minor arcs for Goldbach's problem». arXiv:1205.5252 [math.NT]

[6] «Peruano resolve problema matemático indecifrável havia 271 anos». Terra. 24 de maio de 2013. Consultado em 24 de maio de 2013

[7] ttp://www.humboldt-professur.de/en/preistraeger/preistraeger-2015/helfgott-harald-andres

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v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
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