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Equação diferencial linear de segunda ordem

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Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem são equações que pertencem ao grupo das equações diferenciais lineares e satisfazem as duas características exigidas para tal. Para que sejam consideradas de segunda ordem estas equações devem obedecer ao seguinte formato:

onde, a, b, c e r são funções conhecidas, dependentes apenas da variável x.

Exemplos:

Existência e unicidade da solução

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Teorema

Se as funções , e são contínuas em um intervalo , existe uma única solução da equação linear

no intervalo (a, b), que verifica as condições iniciais e para quaisquer números reais A, B e c, tal que .[1]

Justificativa da linearidade

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Considerando e duas funções contínuas, e a transformação que a cada função duas vezes derivável associa

Observe que se e são duas funções (duas vezes deriváveis) então

, o que resulta em:

Se α e β pertencem a , sendo uma função α α e β β , podemos juntar os dois fatores e obter que é um operador linear

α β α β

Classificação

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As EDOL de Segunda Ordem podem ser ainda classificadas em Homogêneas e Heterogêneas. Elas são conhecidas como Homogêneas quando a função r(x) é igual a zero e Heterogêneas caso contrário.

Exemplos de EDOL de Segunda Ordem Homogêneas

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Exemplos de EDOL de Segunda Ordem Heterogêneas

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Princípio de Superposição

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Se e são duas soluções de uma EDOLH (equação diferencial linear homogênea), então qualquer combinação linear

também é solução.


Demonstração: Sejam se e duas soluções de uma EDOLH . Então, e .

Da linearidade, segue que

,que é .

Logo, a combinação linear também é solução


Observação 1. Uma situação particular do Princípio de Superposiçãp é: se é uma solução de uma EDOLH, então qualquer múltiplo também o é.


Observação 2. O espaço vetorial das soluções de tem dimensão dois, ou seja, existem duas soluções linearmente independentes e tais que qualquer solução de é combinação destas

Métodos de Solução

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Equação Diferencial Linear Homogênea

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Normalmente resolvemos uma EDOL homogênea utilizando o Método de d'Alembert, no caso em que conhecemos uma das soluçoes da equações. Caso não se conheça uma das soluçoes, um dos métodos de resolução é utilizar a equação característica da equação.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea

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Usualmente as soluções são identificadas em duas etapas:

Primeiro: encontra-se a solução da EDOL homogênea associada à determinada EDOL de Segunda Ordem Heterogênea

Segundo: busca-se a solução particular da equação heterogênea. Nesse caso pode ser utilizado o Método dos Coeficientes Constantes ou o Método da Variação de Parâmetros.

A solução geral se dará a partir da soma da solução da EDOL homogênea associada com a solução particular da EDOL heterogênea.

Referências

  1. Villate, p. 23

Ligações externas

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Referências