Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.
Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem[editar | editar código-fonte]
Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:
onde
é a incógnita e depende da variável
, e
e
são funções dadas.
Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por
, obtém-se:
Supomos que
possa ser escrita na seguinte forma:
Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:
onde
é constante. Resolvendo para
, temos:
Para encontrar a função
, basta observar que, pela regra do produto:
Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:
O que implica:
que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.
Considere a seguinte equação diferencial:
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519160bb1d703086ff92b5e917deb44c4d13681)
Multiplicando a equação pelo fator integrante
, temos:
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
ou, reagrupando os termos:
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
o que é equivalente a:
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f9ccbd2b76dfc4ef7e7c8b8b35e530acc78f0)
ou, resolvendo para y:
Considere uma equação diferencial da forma
Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.
Para isso, tomaremos um fator integrante
e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:
Para que essa equação seja exata, precisamos que
[1]
Ou seja, como
e
são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função
que satisfaça a igualdade acima.
Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.
Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:
Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma
ou
, sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.
Também, para simplificar a notação, utilizaremos
e
.
Assim, tomando
como uma função exclusivamente de
, teremos:
Ou seja, para obter uma a função
precisamos resolver a equação diferencial
Observe que dessa expressão obtemos que, para que
seja uma função de
é necessário que
seja também uma função de
.
Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:
.
Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de
.
Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas.
Referências
- ↑ Boyce, William (2013). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: LTC